Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50551 / 48940
↖ ↑ ↗
← S 66.044796°
E 97.684936°		 ← 248.02 m → S 66.044796°
E 97.690430°		 →
↑
248.02 m
↓
↑
248.02 m
↓
S 66.047027°
E 97.684936°		 ← 248 m →
61 512 m²		 S 66.047027°
E 97.690430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771354675292969 y=0.746772766113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771354675292969 × 216)
    floor (0.771354675292969 × 65536)
    floor (50551.5)     		tx = 50551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746772766113281 × 216)
    floor (0.746772766113281 × 65536)
    floor (48940.5)     		ty = 48940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50551 / 48940 ti = "16/50551/48940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50551/48940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50551 ÷ 216
    50551 ÷ 65536     		x = 0.771347045898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48940 ÷ 216
    48940 ÷ 65536     		y = 0.74676513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771347045898438 × 2 - 1) × π
    0.542694091796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70492377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74676513671875 × 2 - 1) × π
    -0.4935302734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.5504710813111
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70492377} λ = 1.70492377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5504710813111))-π/2
    2×atan(0.212148011320038)-π/2
    2×0.209048587945769-π/2
    0.418097175891538-1.57079632675     		φ = -1.15269915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70492377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.684936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15269915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.044796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50551 KachelY 48940 1.70492377 -1.15269915 97.684936 -66.044796
    Oben rechts KachelX + 1 50552 KachelY 48940 1.70501965 -1.15269915 97.690430 -66.044796
    Unten links KachelX 50551 KachelY + 1 48941 1.70492377 -1.15273808 97.684936 -66.047027
    Unten rechts KachelX + 1 50552 KachelY + 1 48941 1.70501965 -1.15273808 97.690430 -66.047027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15269915--1.15273808) × R
    3.89300000001036e-05 × 6371000     		dl = 248.02303000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15269915--1.15273808) × R
    3.89300000001036e-05 × 6371000     		dr = 248.02303000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70492377-1.70501965) × cos(-1.15269915) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.40602226908781 × 6371000     		do = 248.019303985658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70492377-1.70501965) × cos(-1.15273808) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.405986692086437 × 6371000     		du = 247.997571721716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15269915)-sin(-1.15273808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40602226908781-0.405986692086437)×R²
    abs(1.70501965-1.70492377)×3.55770013727441e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.55770013727441e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.55770013727441e-05×40589641000000     		ar = 61511.8042298932m²