Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50550 / 49751
↖ ↑ ↗
← S 67.790564°
E 97.679443°		 ← 230.87 m → S 67.790564°
E 97.684936°		 →
↑
230.89 m
↓
↑
230.89 m
↓
S 67.792641°
E 97.679443°		 ← 230.85 m →
53 303 m²		 S 67.792641°
E 97.684936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771339416503906 y=0.759147644042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771339416503906 × 216)
    floor (0.771339416503906 × 65536)
    floor (50550.5)     		tx = 50550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759147644042969 × 216)
    floor (0.759147644042969 × 65536)
    floor (49751.5)     		ty = 49751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50550 / 49751 ti = "16/50550/49751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50550/49751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50550 ÷ 216
    50550 ÷ 65536     		x = 0.771331787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49751 ÷ 216
    49751 ÷ 65536     		y = 0.759140014648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771331787109375 × 2 - 1) × π
    0.54266357421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70482790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759140014648438 × 2 - 1) × π
    -0.518280029296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.62822473249483
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70482790} λ = 1.70482790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62822473249483))-π/2
    2×atan(0.196277710459287)-π/2
    2×0.193813886745475-π/2
    0.38762777349095-1.57079632675     		φ = -1.18316855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70482790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.679443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18316855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.790564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50550 KachelY 49751 1.70482790 -1.18316855 97.679443 -67.790564
    Oben rechts KachelX + 1 50551 KachelY 49751 1.70492377 -1.18316855 97.684936 -67.790564
    Unten links KachelX 50550 KachelY + 1 49752 1.70482790 -1.18320479 97.679443 -67.792641
    Unten rechts KachelX + 1 50551 KachelY + 1 49752 1.70492377 -1.18320479 97.684936 -67.792641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18316855--1.18320479) × R
    3.62400000000207e-05 × 6371000     		dl = 230.885040000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18316855--1.18320479) × R
    3.62400000000207e-05 × 6371000     		dr = 230.885040000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70482790-1.70492377) × cos(-1.18316855) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.377993256702807 × 6371000     		do = 230.87365833654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70482790-1.70492377) × cos(-1.18320479) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.377959705160053 × 6371000     		du = 230.853165464561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18316855)-sin(-1.18320479))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377993256702807-0.377959705160053)×R²
    abs(1.70492377-1.70482790)×3.35515427535293e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.35515427535293e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.35515427535293e-05×40589641000000     		ar = 53302.9080970912m²