Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50550 / 49173
↖ ↑ ↗
← S 66.559192°
E 97.679443°		 ← 242.97 m → S 66.559192°
E 97.684936°		 →
↑
242.99 m
↓
↑
242.99 m
↓
S 66.561377°
E 97.679443°		 ← 242.95 m →
59 037 m²		 S 66.561377°
E 97.684936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771339416503906 y=0.750328063964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771339416503906 × 216)
    floor (0.771339416503906 × 65536)
    floor (50550.5)     		tx = 50550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750328063964844 × 216)
    floor (0.750328063964844 × 65536)
    floor (49173.5)     		ty = 49173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50550 / 49173 ti = "16/50550/49173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50550/49173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50550 ÷ 216
    50550 ÷ 65536     		x = 0.771331787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49173 ÷ 216
    49173 ÷ 65536     		y = 0.750320434570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771331787109375 × 2 - 1) × π
    0.54266357421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70482790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750320434570312 × 2 - 1) × π
    -0.500640869140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.57280967653404
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70482790} λ = 1.70482790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57280967653404))-π/2
    2×atan(0.207461463105277)-π/2
    2×0.204559641146345-π/2
    0.40911928229269-1.57079632675     		φ = -1.16167704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70482790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.679443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16167704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.559192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50550 KachelY 49173 1.70482790 -1.16167704 97.679443 -66.559192
    Oben rechts KachelX + 1 50551 KachelY 49173 1.70492377 -1.16167704 97.684936 -66.559192
    Unten links KachelX 50550 KachelY + 1 49174 1.70482790 -1.16171518 97.679443 -66.561377
    Unten rechts KachelX + 1 50551 KachelY + 1 49174 1.70492377 -1.16171518 97.684936 -66.561377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16167704--1.16171518) × R
    3.81400000000198e-05 × 6371000     		dl = 242.989940000126m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16167704--1.16171518) × R
    3.81400000000198e-05 × 6371000     		dr = 242.989940000126m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70482790-1.70492377) × cos(-1.16167704) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.397801453077713 × 6371000     		do = 242.972262428091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70482790-1.70492377) × cos(-1.16171518) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.397766460424327 × 6371000     		du = 242.950889343362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16167704)-sin(-1.16171518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397801453077713-0.397766460424327)×R²
    abs(1.70492377-1.70482790)×3.49926533864675e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.49926533864675e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.49926533864675e-05×40589641000000     		ar = 59037.2187539202m²