Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50546 / 49071
↖ ↑ ↗
← S 66.335300°
E 97.657471°		 ← 245.19 m → S 66.335300°
E 97.662964°		 →
↑
245.16 m
↓
↑
245.16 m
↓
S 66.337505°
E 97.657471°		 ← 245.16 m →
60 106 m²		 S 66.337505°
E 97.662964°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49071 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771278381347656 y=0.748771667480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771278381347656 × 216)
    floor (0.771278381347656 × 65536)
    floor (50546.5)     		tx = 50546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748771667480469 × 216)
    floor (0.748771667480469 × 65536)
    floor (49071.5)     		ty = 49071
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50546 / 49071 ti = "16/50546/49071"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50546/49071.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50546 ÷ 216
    50546 ÷ 65536     		x = 0.771270751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49071 ÷ 216
    49071 ÷ 65536     		y = 0.748764038085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771270751953125 × 2 - 1) × π
    0.54254150390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70444440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748764038085938 × 2 - 1) × π
    -0.497528076171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.56303054901155
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70444440} λ = 1.70444440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56303054901155))-π/2
    2×atan(0.209500207532561)-π/2
    2×0.20651346356652-π/2
    0.413026927133039-1.57079632675     		φ = -1.15776940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70444440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.657471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15776940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.335300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50546 KachelY 49071 1.70444440 -1.15776940 97.657471 -66.335300
    Oben rechts KachelX + 1 50547 KachelY 49071 1.70454028 -1.15776940 97.662964 -66.335300
    Unten links KachelX 50546 KachelY + 1 49072 1.70444440 -1.15780788 97.657471 -66.337505
    Unten rechts KachelX + 1 50547 KachelY + 1 49072 1.70454028 -1.15780788 97.662964 -66.337505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15776940--1.15780788) × R
    3.84799999999519e-05 × 6371000     		dl = 245.156079999693m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15776940--1.15780788) × R
    3.84799999999519e-05 × 6371000     		dr = 245.156079999693m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70444440-1.70454028) × cos(-1.15776940) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.401383555253091 × 6371000     		do = 245.185738773852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70444440-1.70454028) × cos(-1.15780788) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.40134831073675 × 6371000     		du = 245.164209608883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15776940)-sin(-1.15780788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401383555253091-0.40134831073675)×R²
    abs(1.70454028-1.70444440)×3.52445163413484e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.52445163413484e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.52445163413484e-05×40589641000000     		ar = 60106.135593971m²