Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50546 / 48978
↖ ↑ ↗
← S 66.129408°
E 97.657471°		 ← 247.19 m → S 66.129408°
E 97.662964°		 →
↑
247.19 m
↓
↑
247.19 m
↓
S 66.131632°
E 97.657471°		 ← 247.17 m →
61 103 m²		 S 66.131632°
E 97.662964°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771278381347656 y=0.747352600097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771278381347656 × 216)
    floor (0.771278381347656 × 65536)
    floor (50546.5)     		tx = 50546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747352600097656 × 216)
    floor (0.747352600097656 × 65536)
    floor (48978.5)     		ty = 48978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50546 / 48978 ti = "16/50546/48978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50546/48978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50546 ÷ 216
    50546 ÷ 65536     		x = 0.771270751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48978 ÷ 216
    48978 ÷ 65536     		y = 0.747344970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771270751953125 × 2 - 1) × π
    0.54254150390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70444440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747344970703125 × 2 - 1) × π
    -0.49468994140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.55411428568222
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70444440} λ = 1.70444440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55411428568222))-π/2
    2×atan(0.211376518963365)-π/2
    2×0.20831020702479-π/2
    0.41662041404958-1.57079632675     		φ = -1.15417591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70444440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.657471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15417591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.129408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50546 KachelY 48978 1.70444440 -1.15417591 97.657471 -66.129408
    Oben rechts KachelX + 1 50547 KachelY 48978 1.70454028 -1.15417591 97.662964 -66.129408
    Unten links KachelX 50546 KachelY + 1 48979 1.70444440 -1.15421471 97.657471 -66.131632
    Unten rechts KachelX + 1 50547 KachelY + 1 48979 1.70454028 -1.15421471 97.662964 -66.131632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15417591--1.15421471) × R
    3.88000000000055e-05 × 6371000     		dl = 247.194800000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15417591--1.15421471) × R
    3.88000000000055e-05 × 6371000     		dr = 247.194800000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70444440-1.70454028) × cos(-1.15417591) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.404672270253716 × 6371000     		do = 247.194655199281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70444440-1.70454028) × cos(-1.15421471) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.404636788831916 × 6371000     		du = 247.172981320261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15417591)-sin(-1.15421471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404672270253716-0.404636788831916)×R²
    abs(1.70454028-1.70444440)×3.54814218002097e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.54814218002097e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.54814218002097e-05×40589641000000     		ar = 61102.5545254291m²