Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50545 / 49073
↖ ↑ ↗
← S 66.339710°
E 97.651978°		 ← 245.12 m → S 66.339710°
E 97.657471°		 →
↑
245.09 m
↓
↑
245.09 m
↓
S 66.341914°
E 97.651978°		 ← 245.10 m →
60 074 m²		 S 66.341914°
E 97.657471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771263122558594 y=0.748802185058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771263122558594 × 216)
    floor (0.771263122558594 × 65536)
    floor (50545.5)     		tx = 50545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748802185058594 × 216)
    floor (0.748802185058594 × 65536)
    floor (49073.5)     		ty = 49073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50545 / 49073 ti = "16/50545/49073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50545/49073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50545 ÷ 216
    50545 ÷ 65536     		x = 0.771255493164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49073 ÷ 216
    49073 ÷ 65536     		y = 0.748794555664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771255493164062 × 2 - 1) × π
    0.542510986328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70434853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748794555664062 × 2 - 1) × π
    -0.497589111328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.56322229661003
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70434853} λ = 1.70434853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56322229661003))-π/2
    2×atan(0.209460040222002)-π/2
    2×0.206474984779123-π/2
    0.412949969558246-1.57079632675     		φ = -1.15784636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70434853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.651978°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15784636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.339710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50545 KachelY 49073 1.70434853 -1.15784636 97.651978 -66.339710
    Oben rechts KachelX + 1 50546 KachelY 49073 1.70444440 -1.15784636 97.657471 -66.339710
    Unten links KachelX 50545 KachelY + 1 49074 1.70434853 -1.15788483 97.651978 -66.341914
    Unten rechts KachelX + 1 50546 KachelY + 1 49074 1.70444440 -1.15788483 97.657471 -66.341914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15784636--1.15788483) × R
    3.84700000000127e-05 × 6371000     		dl = 245.092370000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15784636--1.15788483) × R
    3.84700000000127e-05 × 6371000     		dr = 245.092370000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70434853-1.70444440) × cos(-1.15784636) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.401313065626128 × 6371000     		do = 245.117112425641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70434853-1.70444440) × cos(-1.15788483) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.401277829080841 × 6371000     		du = 245.095590374723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15784636)-sin(-1.15788483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401313065626128-0.401277829080841)×R²
    abs(1.70444440-1.70434853)×3.52365452864767e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.52365452864767e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.52365452864767e-05×40589641000000     		ar = 60073.6965744132m²