Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50545 / 49040
↖ ↑ ↗
← S 66.266856°
E 97.651978°		 ← 245.83 m → S 66.266856°
E 97.657471°		 →
↑
245.79 m
↓
↑
245.79 m
↓
S 66.269067°
E 97.651978°		 ← 245.81 m →
60 420 m²		 S 66.269067°
E 97.657471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771263122558594 y=0.748298645019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771263122558594 × 216)
    floor (0.771263122558594 × 65536)
    floor (50545.5)     		tx = 50545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748298645019531 × 216)
    floor (0.748298645019531 × 65536)
    floor (49040.5)     		ty = 49040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50545 / 49040 ti = "16/50545/49040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50545/49040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50545 ÷ 216
    50545 ÷ 65536     		x = 0.771255493164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49040 ÷ 216
    49040 ÷ 65536     		y = 0.748291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771255493164062 × 2 - 1) × π
    0.542510986328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70434853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748291015625 × 2 - 1) × π
    -0.49658203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.56005846123511
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70434853} λ = 1.70434853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56005846123511))-π/2
    2×atan(0.210123786745587)-π/2
    2×0.207110749591083-π/2
    0.414221499182167-1.57079632675     		φ = -1.15657483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70434853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.651978°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15657483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.266856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50545 KachelY 49040 1.70434853 -1.15657483 97.651978 -66.266856
    Oben rechts KachelX + 1 50546 KachelY 49040 1.70444440 -1.15657483 97.657471 -66.266856
    Unten links KachelX 50545 KachelY + 1 49041 1.70434853 -1.15661341 97.651978 -66.269067
    Unten rechts KachelX + 1 50546 KachelY + 1 49041 1.70444440 -1.15661341 97.657471 -66.269067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15657483--1.15661341) × R
    3.85800000000103e-05 × 6371000     		dl = 245.793180000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15657483--1.15661341) × R
    3.85800000000103e-05 × 6371000     		dr = 245.793180000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70434853-1.70444440) × cos(-1.15657483) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.402477387288944 × 6371000     		do = 245.828265857635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70434853-1.70444440) × cos(-1.15661341) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.402442069702811 × 6371000     		du = 245.806694307959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15657483)-sin(-1.15661341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402477387288944-0.402442069702811)×R²
    abs(1.70444440-1.70434853)×3.53175861329547e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.53175861329547e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.53175861329547e-05×40589641000000     		ar = 60420.2601367747m²