Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50542 / 48906
↖ ↑ ↗
← S 65.968851°
E 97.635498°		 ← 248.73 m → S 65.968851°
E 97.640991°		 →
↑
248.72 m
↓
↑
248.72 m
↓
S 65.971088°
E 97.635498°		 ← 248.71 m →
61 863 m²		 S 65.971088°
E 97.640991°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771217346191406 y=0.746253967285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771217346191406 × 216)
    floor (0.771217346191406 × 65536)
    floor (50542.5)     		tx = 50542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746253967285156 × 216)
    floor (0.746253967285156 × 65536)
    floor (48906.5)     		ty = 48906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50542 / 48906 ti = "16/50542/48906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50542/48906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50542 ÷ 216
    50542 ÷ 65536     		x = 0.771209716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48906 ÷ 216
    48906 ÷ 65536     		y = 0.746246337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771209716796875 × 2 - 1) × π
    0.54241943359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.70406091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746246337890625 × 2 - 1) × π
    -0.49249267578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.54721137213693
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70406091} λ = 1.70406091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54721137213693))-π/2
    2×atan(0.212840680475478)-π/2
    2×0.209711331651381-π/2
    0.419422663302761-1.57079632675     		φ = -1.15137366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70406091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.635498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15137366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.968851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50542 KachelY 48906 1.70406091 -1.15137366 97.635498 -65.968851
    Oben rechts KachelX + 1 50543 KachelY 48906 1.70415678 -1.15137366 97.640991 -65.968851
    Unten links KachelX 50542 KachelY + 1 48907 1.70406091 -1.15141270 97.635498 -65.971088
    Unten rechts KachelX + 1 50543 KachelY + 1 48907 1.70415678 -1.15141270 97.640991 -65.971088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15137366--1.15141270) × R
    3.90400000001012e-05 × 6371000     		dl = 248.723840000645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15137366--1.15141270) × R
    3.90400000001012e-05 × 6371000     		dr = 248.723840000645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70406091-1.70415678) × cos(-1.15137366) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.407233228568344 × 6371000     		do = 248.733075547153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70406091-1.70415678) × cos(-1.15141270) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.407197572081179 × 6371000     		du = 248.711297000872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15137366)-sin(-1.15141270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407233228568344-0.407197572081179)×R²
    abs(1.70415678-1.70406091)×3.56564871648035e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.56564871648035e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.56564871648035e-05×40589641000000     		ar = 61863.1372711917m²