Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50541 / 49079
↖ ↑ ↗
← S 66.352933°
E 97.630005°		 ← 245.01 m → S 66.352933°
E 97.635498°		 →
↑
244.96 m
↓
↑
244.96 m
↓
S 66.355136°
E 97.630005°		 ← 244.99 m →
60 017 m²		 S 66.355136°
E 97.635498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771202087402344 y=0.748893737792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771202087402344 × 216)
    floor (0.771202087402344 × 65536)
    floor (50541.5)     		tx = 50541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748893737792969 × 216)
    floor (0.748893737792969 × 65536)
    floor (49079.5)     		ty = 49079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50541 / 49079 ti = "16/50541/49079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50541/49079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50541 ÷ 216
    50541 ÷ 65536     		x = 0.771194458007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49079 ÷ 216
    49079 ÷ 65536     		y = 0.748886108398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771194458007812 × 2 - 1) × π
    0.542388916015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70396503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748886108398438 × 2 - 1) × π
    -0.497772216796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.56379753940547
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70396503} λ = 1.70396503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56379753940547))-π/2
    2×atan(0.209339584491898)-π/2
    2×0.206359588957592-π/2
    0.412719177915184-1.57079632675     		φ = -1.15807715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70396503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.630005°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15807715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.352933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50541 KachelY 49079 1.70396503 -1.15807715 97.630005 -66.352933
    Oben rechts KachelX + 1 50542 KachelY 49079 1.70406091 -1.15807715 97.635498 -66.352933
    Unten links KachelX 50541 KachelY + 1 49080 1.70396503 -1.15811560 97.630005 -66.355136
    Unten rechts KachelX + 1 50542 KachelY + 1 49080 1.70406091 -1.15811560 97.635498 -66.355136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15807715--1.15811560) × R
    3.84499999999122e-05 × 6371000     		dl = 244.96494999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15807715--1.15811560) × R
    3.84499999999122e-05 × 6371000     		dr = 244.96494999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70396503-1.70406091) × cos(-1.15807715) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.401101664928446 × 6371000     		do = 245.013545651845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70396503-1.70406091) × cos(-1.15811560) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.401066443142179 × 6371000     		du = 244.992030371575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15807715)-sin(-1.15811560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401101664928446-0.401066443142179)×R²
    abs(1.70406091-1.70396503)×3.52217862667481e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.52217862667481e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.52217862667481e-05×40589641000000     		ar = 60017.0957223683m²