Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50540 / 49754
↖ ↑ ↗
← S 67.796793°
E 97.624512°		 ← 230.81 m → S 67.796793°
E 97.630005°		 →
↑
230.82 m
↓
↑
230.82 m
↓
S 67.798869°
E 97.624512°		 ← 230.79 m →
53 274 m²		 S 67.798869°
E 97.630005°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771186828613281 y=0.759193420410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771186828613281 × 216)
    floor (0.771186828613281 × 65536)
    floor (50540.5)     		tx = 50540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759193420410156 × 216)
    floor (0.759193420410156 × 65536)
    floor (49754.5)     		ty = 49754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50540 / 49754 ti = "16/50540/49754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50540/49754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50540 ÷ 216
    50540 ÷ 65536     		x = 0.77117919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49754 ÷ 216
    49754 ÷ 65536     		y = 0.759185791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77117919921875 × 2 - 1) × π
    0.5423583984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.70386916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759185791015625 × 2 - 1) × π
    -0.51837158203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.62851235389255
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70386916} λ = 1.70386916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62851235389255))-π/2
    2×atan(0.196221264907727)-π/2
    2×0.193759534508451-π/2
    0.387519069016902-1.57079632675     		φ = -1.18327726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70386916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.624512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18327726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.796793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50540 KachelY 49754 1.70386916 -1.18327726 97.624512 -67.796793
    Oben rechts KachelX + 1 50541 KachelY 49754 1.70396503 -1.18327726 97.630005 -67.796793
    Unten links KachelX 50540 KachelY + 1 49755 1.70386916 -1.18331349 97.624512 -67.798869
    Unten rechts KachelX + 1 50541 KachelY + 1 49755 1.70396503 -1.18331349 97.630005 -67.798869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18327726--1.18331349) × R
    3.62299999998594e-05 × 6371000     		dl = 230.821329999104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18327726--1.18331349) × R
    3.62299999998594e-05 × 6371000     		dr = 230.821329999104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70386916-1.70396503) × cos(-1.18327726) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.377892609843919 × 6371000     		do = 230.812184466042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70386916-1.70396503) × cos(-1.18331349) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.3778590660709 × 6371000     		du = 230.791696339722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18327726)-sin(-1.18331349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377892609843919-0.3778590660709)×R²
    abs(1.70396503-1.70386916)×3.35437730190069e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.35437730190069e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.35437730190069e-05×40589641000000     		ar = 53274.010855803m²