Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50539 / 48903
↖ ↑ ↗
← S 65.962140°
E 97.619019°		 ← 248.80 m → S 65.962140°
E 97.624512°		 →
↑
248.79 m
↓
↑
248.79 m
↓
S 65.964377°
E 97.619019°		 ← 248.78 m →
61 895 m²		 S 65.964377°
E 97.624512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771171569824219 y=0.746208190917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771171569824219 × 216)
    floor (0.771171569824219 × 65536)
    floor (50539.5)     		tx = 50539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746208190917969 × 216)
    floor (0.746208190917969 × 65536)
    floor (48903.5)     		ty = 48903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50539 / 48903 ti = "16/50539/48903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50539/48903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50539 ÷ 216
    50539 ÷ 65536     		x = 0.771163940429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48903 ÷ 216
    48903 ÷ 65536     		y = 0.746200561523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771163940429688 × 2 - 1) × π
    0.542327880859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.70377329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746200561523438 × 2 - 1) × π
    -0.492401123046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54692375073921
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70377329} λ = 1.70377329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54692375073921))-π/2
    2×atan(0.212901906814068)-π/2
    2×0.209769903838861-π/2
    0.419539807677722-1.57079632675     		φ = -1.15125652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70377329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.619019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15125652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.962140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50539 KachelY 48903 1.70377329 -1.15125652 97.619019 -65.962140
    Oben rechts KachelX + 1 50540 KachelY 48903 1.70386916 -1.15125652 97.624512 -65.962140
    Unten links KachelX 50539 KachelY + 1 48904 1.70377329 -1.15129557 97.619019 -65.964377
    Unten rechts KachelX + 1 50540 KachelY + 1 48904 1.70386916 -1.15129557 97.624512 -65.964377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15125652--1.15129557) × R
    3.90500000000404e-05 × 6371000     		dl = 248.787550000258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15125652--1.15129557) × R
    3.90500000000404e-05 × 6371000     		dr = 248.787550000258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70377329-1.70386916) × cos(-1.15125652) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.407340212571113 × 6371000     		do = 248.79842006763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70377329-1.70386916) × cos(-1.15129557) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.407304548813524 × 6371000     		du = 248.776637080663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15125652)-sin(-1.15129557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407340212571113-0.407304548813524)×R²
    abs(1.70386916-1.70377329)×3.56637575887886e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.56637575887886e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.56637575887886e-05×40589641000000     		ar = 61895.2397123684m²