Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50537 / 49145
↖ ↑ ↗
← S 66.497931°
E 97.608032°		 ← 243.57 m → S 66.497931°
E 97.613525°		 →
↑
243.56 m
↓
↑
243.56 m
↓
S 66.500121°
E 97.608032°		 ← 243.55 m →
59 322 m²		 S 66.500121°
E 97.613525°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771141052246094 y=0.749900817871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771141052246094 × 216)
    floor (0.771141052246094 × 65536)
    floor (50537.5)     		tx = 50537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749900817871094 × 216)
    floor (0.749900817871094 × 65536)
    floor (49145.5)     		ty = 49145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50537 / 49145 ti = "16/50537/49145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50537/49145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50537 ÷ 216
    50537 ÷ 65536     		x = 0.771133422851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49145 ÷ 216
    49145 ÷ 65536     		y = 0.749893188476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771133422851562 × 2 - 1) × π
    0.542266845703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70358154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749893188476562 × 2 - 1) × π
    -0.499786376953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.57012521015532
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70358154} λ = 1.70358154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57012521015532))-π/2
    2×atan(0.208019134618179)-π/2
    2×0.205094241421237-π/2
    0.410188482842473-1.57079632675     		φ = -1.16060784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70358154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.608032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16060784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.497931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50537 KachelY 49145 1.70358154 -1.16060784 97.608032 -66.497931
    Oben rechts KachelX + 1 50538 KachelY 49145 1.70367741 -1.16060784 97.613525 -66.497931
    Unten links KachelX 50537 KachelY + 1 49146 1.70358154 -1.16064607 97.608032 -66.500121
    Unten rechts KachelX + 1 50538 KachelY + 1 49146 1.70367741 -1.16064607 97.613525 -66.500121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16060784--1.16064607) × R
    3.8230000000139e-05 × 6371000     		dl = 243.563330000885m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16060784--1.16064607) × R
    3.8230000000139e-05 × 6371000     		dr = 243.563330000885m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70358154-1.70367741) × cos(-1.16060784) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.398782186067074 × 6371000     		do = 243.571282143628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70358154-1.70367741) × cos(-1.16064607) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.398747127119551 × 6371000     		du = 243.549868567252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16060784)-sin(-1.16064607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398782186067074-0.398747127119551)×R²
    abs(1.70367741-1.70358154)×3.50589475225926e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.50589475225926e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.50589475225926e-05×40589641000000     		ar = 59322.4247980322m²