Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50537 / 49129
↖ ↑ ↗
← S 66.462857°
E 97.608032°		 ← 243.91 m → S 66.462857°
E 97.613525°		 →
↑
243.88 m
↓
↑
243.88 m
↓
S 66.465051°
E 97.608032°		 ← 243.89 m →
59 484 m²		 S 66.465051°
E 97.613525°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771141052246094 y=0.749656677246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771141052246094 × 216)
    floor (0.771141052246094 × 65536)
    floor (50537.5)     		tx = 50537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749656677246094 × 216)
    floor (0.749656677246094 × 65536)
    floor (49129.5)     		ty = 49129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50537 / 49129 ti = "16/50537/49129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50537/49129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50537 ÷ 216
    50537 ÷ 65536     		x = 0.771133422851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49129 ÷ 216
    49129 ÷ 65536     		y = 0.749649047851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771133422851562 × 2 - 1) × π
    0.542266845703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70358154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749649047851562 × 2 - 1) × π
    -0.499298095703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.56859122936748
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70358154} λ = 1.70358154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56859122936748))-π/2
    2×atan(0.208338476843986)-π/2
    2×0.205400318739007-π/2
    0.410800637478015-1.57079632675     		φ = -1.15999569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70358154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.608032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15999569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.462857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50537 KachelY 49129 1.70358154 -1.15999569 97.608032 -66.462857
    Oben rechts KachelX + 1 50538 KachelY 49129 1.70367741 -1.15999569 97.613525 -66.462857
    Unten links KachelX 50537 KachelY + 1 49130 1.70358154 -1.16003397 97.608032 -66.465051
    Unten rechts KachelX + 1 50538 KachelY + 1 49130 1.70367741 -1.16003397 97.613525 -66.465051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15999569--1.16003397) × R
    3.82800000000572e-05 × 6371000     		dl = 243.881880000364m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15999569--1.16003397) × R
    3.82800000000572e-05 × 6371000     		dr = 243.881880000364m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70358154-1.70367741) × cos(-1.15999569) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.399343480823963 × 6371000     		do = 243.914114116501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70358154-1.70367741) × cos(-1.16003397) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.399308385374263 × 6371000     		du = 243.892678245041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15999569)-sin(-1.16003397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399343480823963-0.399308385374263)×R²
    abs(1.70367741-1.70358154)×3.50954496998179e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.50954496998179e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.50954496998179e-05×40589641000000     		ar = 59483.6188065084m²