Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50536 / 49000
↖ ↑ ↗
← S 66.178266°
E 97.602539°		 ← 246.72 m → S 66.178266°
E 97.608032°		 →
↑
246.75 m
↓
↑
246.75 m
↓
S 66.180485°
E 97.602539°		 ← 246.70 m →
60 875 m²		 S 66.180485°
E 97.608032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771125793457031 y=0.747688293457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771125793457031 × 216)
    floor (0.771125793457031 × 65536)
    floor (50536.5)     		tx = 50536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747688293457031 × 216)
    floor (0.747688293457031 × 65536)
    floor (49000.5)     		ty = 49000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50536 / 49000 ti = "16/50536/49000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50536/49000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50536 ÷ 216
    50536 ÷ 65536     		x = 0.7711181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49000 ÷ 216
    49000 ÷ 65536     		y = 0.7476806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7711181640625 × 2 - 1) × π
    0.542236328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70348566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7476806640625 × 2 - 1) × π
    -0.495361328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.5562235092655
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70348566} λ = 1.70348566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5562235092655))-π/2
    2×atan(0.210931148482691)-π/2
    2×0.207883846246669-π/2
    0.415767692493339-1.57079632675     		φ = -1.15502863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70348566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.602539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15502863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.178266°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50536 KachelY 49000 1.70348566 -1.15502863 97.602539 -66.178266
    Oben rechts KachelX + 1 50537 KachelY 49000 1.70358154 -1.15502863 97.608032 -66.178266
    Unten links KachelX 50536 KachelY + 1 49001 1.70348566 -1.15506736 97.602539 -66.180485
    Unten rechts KachelX + 1 50537 KachelY + 1 49001 1.70358154 -1.15506736 97.608032 -66.180485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15502863--1.15506736) × R
    3.87300000002089e-05 × 6371000     		dl = 246.748830001331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15502863--1.15506736) × R
    3.87300000002089e-05 × 6371000     		dr = 246.748830001331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70348566-1.70358154) × cos(-1.15502863) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.403892343371147 × 6371000     		do = 246.718235709343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70348566-1.70358154) × cos(-1.15506736) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.403856912611589 × 6371000     		du = 246.696592777429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15502863)-sin(-1.15506736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403892343371147-0.403856912611589)×R²
    abs(1.70358154-1.70348566)×3.54307595583081e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.54307595583081e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.54307595583081e-05×40589641000000     		ar = 60874.7658251658m²