Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50535 / 49244
↖ ↑ ↗
← S 66.713856°
E 97.597046°		 ← 241.46 m → S 66.713856°
E 97.602539°		 →
↑
241.46 m
↓
↑
241.46 m
↓
S 66.716028°
E 97.597046°		 ← 241.44 m →
58 300 m²		 S 66.716028°
E 97.602539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771110534667969 y=0.751411437988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771110534667969 × 216)
    floor (0.771110534667969 × 65536)
    floor (50535.5)     		tx = 50535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751411437988281 × 216)
    floor (0.751411437988281 × 65536)
    floor (49244.5)     		ty = 49244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50535 / 49244 ti = "16/50535/49244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50535/49244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50535 ÷ 216
    50535 ÷ 65536     		x = 0.771102905273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49244 ÷ 216
    49244 ÷ 65536     		y = 0.75140380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771102905273438 × 2 - 1) × π
    0.542205810546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70338979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75140380859375 × 2 - 1) × π
    -0.5028076171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.57961671628009
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70338979} λ = 1.70338979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57961671628009))-π/2
    2×atan(0.206054060238196)-π/2
    2×0.203209936674279-π/2
    0.406419873348558-1.57079632675     		φ = -1.16437645
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70338979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.597046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16437645 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.713856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50535 KachelY 49244 1.70338979 -1.16437645 97.597046 -66.713856
    Oben rechts KachelX + 1 50536 KachelY 49244 1.70348566 -1.16437645 97.602539 -66.713856
    Unten links KachelX 50535 KachelY + 1 49245 1.70338979 -1.16441435 97.597046 -66.716028
    Unten rechts KachelX + 1 50536 KachelY + 1 49245 1.70348566 -1.16441435 97.602539 -66.716028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16437645--1.16441435) × R
    3.78999999999241e-05 × 6371000     		dl = 241.460899999516m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16437645--1.16441435) × R
    3.78999999999241e-05 × 6371000     		dr = 241.460899999516m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70338979-1.70348566) × cos(-1.16437645) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.395323374917439 × 6371000     		do = 241.458682594691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70338979-1.70348566) × cos(-1.16441435) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.395288561891239 × 6371000     		du = 241.437419224052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16437645)-sin(-1.16441435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395323374917439-0.395288561891239)×R²
    abs(1.70348566-1.70338979)×3.48130261992319e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.48130261992319e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.48130261992319e-05×40589641000000     		ar = 58300.2636828059m²