Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50535 / 48935
↖ ↑ ↗
← S 66.033642°
E 97.597046°		 ← 248.10 m → S 66.033642°
E 97.602539°		 →
↑
248.15 m
↓
↑
248.15 m
↓
S 66.035874°
E 97.597046°		 ← 248.08 m →
61 564 m²		 S 66.035874°
E 97.602539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771110534667969 y=0.746696472167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771110534667969 × 216)
    floor (0.771110534667969 × 65536)
    floor (50535.5)     		tx = 50535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746696472167969 × 216)
    floor (0.746696472167969 × 65536)
    floor (48935.5)     		ty = 48935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50535 / 48935 ti = "16/50535/48935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50535/48935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50535 ÷ 216
    50535 ÷ 65536     		x = 0.771102905273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48935 ÷ 216
    48935 ÷ 65536     		y = 0.746688842773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771102905273438 × 2 - 1) × π
    0.542205810546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70338979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746688842773438 × 2 - 1) × π
    -0.493377685546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.5499917123149
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70338979} λ = 1.70338979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5499917123149))-π/2
    2×atan(0.212249732878403)-π/2
    2×0.209145926508109-π/2
    0.418291853016219-1.57079632675     		φ = -1.15250447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70338979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.597046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15250447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.033642°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50535 KachelY 48935 1.70338979 -1.15250447 97.597046 -66.033642
    Oben rechts KachelX + 1 50536 KachelY 48935 1.70348566 -1.15250447 97.602539 -66.033642
    Unten links KachelX 50535 KachelY + 1 48936 1.70338979 -1.15254342 97.597046 -66.035874
    Unten rechts KachelX + 1 50536 KachelY + 1 48936 1.70348566 -1.15254342 97.602539 -66.035874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15250447--1.15254342) × R
    3.89499999999821e-05 × 6371000     		dl = 248.150449999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15250447--1.15254342) × R
    3.89499999999821e-05 × 6371000     		dr = 248.150449999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70338979-1.70348566) × cos(-1.15250447) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.406200172276943 × 6371000     		do = 248.102097398645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70338979-1.70348566) × cos(-1.15254342) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.40616458007731 × 6371000     		du = 248.080358118401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15250447)-sin(-1.15254342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406200172276943-0.40616458007731)×R²
    abs(1.70348566-1.70338979)×3.559219963295e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.559219963295e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.559219963295e-05×40589641000000     		ar = 61563.9498171623m²