Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50534 / 48933
↖ ↑ ↗
← S 66.029179°
E 97.591553°		 ← 248.15 m → S 66.029179°
E 97.597046°		 →
↑
248.15 m
↓
↑
248.15 m
↓
S 66.031411°
E 97.591553°		 ← 248.12 m →
61 575 m²		 S 66.031411°
E 97.597046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771095275878906 y=0.746665954589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771095275878906 × 216)
    floor (0.771095275878906 × 65536)
    floor (50534.5)     		tx = 50534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746665954589844 × 216)
    floor (0.746665954589844 × 65536)
    floor (48933.5)     		ty = 48933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50534 / 48933 ti = "16/50534/48933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50534/48933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50534 ÷ 216
    50534 ÷ 65536     		x = 0.771087646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48933 ÷ 216
    48933 ÷ 65536     		y = 0.746658325195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771087646484375 × 2 - 1) × π
    0.54217529296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70329392
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746658325195312 × 2 - 1) × π
    -0.493316650390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54979996471642
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70329392} λ = 1.70329392}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54979996471642))-π/2
    2×atan(0.212290435157118)-π/2
    2×0.209184873873506-π/2
    0.418369747747013-1.57079632675     		φ = -1.15242658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70329392} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.591553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15242658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.029179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50534 KachelY 48933 1.70329392 -1.15242658 97.591553 -66.029179
    Oben rechts KachelX + 1 50535 KachelY 48933 1.70338979 -1.15242658 97.597046 -66.029179
    Unten links KachelX 50534 KachelY + 1 48934 1.70329392 -1.15246553 97.591553 -66.031411
    Unten rechts KachelX + 1 50535 KachelY + 1 48934 1.70338979 -1.15246553 97.597046 -66.031411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15242658--1.15246553) × R
    3.89499999999821e-05 × 6371000     		dl = 248.150449999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15242658--1.15246553) × R
    3.89499999999821e-05 × 6371000     		dr = 248.150449999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70329392-1.70338979) × cos(-1.15242658) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.406271345689889 × 6371000     		do = 248.145569248821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70329392-1.70338979) × cos(-1.15246553) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.406235754722646 × 6371000     		du = 248.123830721307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15242658)-sin(-1.15246553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406271345689889-0.406235754722646)×R²
    abs(1.70338979-1.70329392)×3.55909672425381e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.55909672425381e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.55909672425381e-05×40589641000000     		ar = 61574.7374697867m²