Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50532 / 49124
↖ ↑ ↗
← S 66.451886°
E 97.580566°		 ← 244.02 m → S 66.451886°
E 97.586059°		 →
↑
244.07 m
↓
↑
244.07 m
↓
S 66.454081°
E 97.580566°		 ← 244 m →
59 556 m²		 S 66.454081°
E 97.586059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771064758300781 y=0.749580383300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771064758300781 × 216)
    floor (0.771064758300781 × 65536)
    floor (50532.5)     		tx = 50532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749580383300781 × 216)
    floor (0.749580383300781 × 65536)
    floor (49124.5)     		ty = 49124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50532 / 49124 ti = "16/50532/49124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50532/49124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50532 ÷ 216
    50532 ÷ 65536     		x = 0.77105712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49124 ÷ 216
    49124 ÷ 65536     		y = 0.74957275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77105712890625 × 2 - 1) × π
    0.5421142578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70310217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74957275390625 × 2 - 1) × π
    -0.4991455078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.56811186037128
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70310217} λ = 1.70310217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56811186037128))-π/2
    2×atan(0.208438371791858)-π/2
    2×0.205496056216451-π/2
    0.410992112432902-1.57079632675     		φ = -1.15980421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70310217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.580566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15980421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.451886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50532 KachelY 49124 1.70310217 -1.15980421 97.580566 -66.451886
    Oben rechts KachelX + 1 50533 KachelY 49124 1.70319804 -1.15980421 97.586059 -66.451886
    Unten links KachelX 50532 KachelY + 1 49125 1.70310217 -1.15984252 97.580566 -66.454081
    Unten rechts KachelX + 1 50533 KachelY + 1 49125 1.70319804 -1.15984252 97.586059 -66.454081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15980421--1.15984252) × R
    3.83100000000969e-05 × 6371000     		dl = 244.073010000617m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15980421--1.15984252) × R
    3.83100000000969e-05 × 6371000     		dr = 244.073010000617m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70310217-1.70319804) × cos(-1.15980421) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.399519022631707 × 6371000     		do = 244.021332905795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70310217-1.70319804) × cos(-1.15984252) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.399483902607446 × 6371000     		du = 243.999882024494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15980421)-sin(-1.15984252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399519022631707-0.399483902607446)×R²
    abs(1.70319804-1.70310217)×3.51200242616478e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.51200242616478e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.51200242616478e-05×40589641000000     		ar = 59556.4034437547m²