Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50531 / 48931
↖ ↑ ↗
← S 66.024715°
E 97.575073°		 ← 248.19 m → S 66.024715°
E 97.580566°		 →
↑
248.21 m
↓
↑
248.21 m
↓
S 66.026948°
E 97.575073°		 ← 248.17 m →
61 601 m²		 S 66.026948°
E 97.580566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771049499511719 y=0.746635437011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771049499511719 × 216)
    floor (0.771049499511719 × 65536)
    floor (50531.5)     		tx = 50531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746635437011719 × 216)
    floor (0.746635437011719 × 65536)
    floor (48931.5)     		ty = 48931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50531 / 48931 ti = "16/50531/48931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50531/48931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50531 ÷ 216
    50531 ÷ 65536     		x = 0.771041870117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48931 ÷ 216
    48931 ÷ 65536     		y = 0.746627807617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771041870117188 × 2 - 1) × π
    0.542083740234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.70300630
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746627807617188 × 2 - 1) × π
    -0.493255615234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54960821711794
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70300630} λ = 1.70300630}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54960821711794))-π/2
    2×atan(0.212331145241146)-π/2
    2×0.209223828063463-π/2
    0.418447656126927-1.57079632675     		φ = -1.15234867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70300630} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.575073°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15234867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.024715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50531 KachelY 48931 1.70300630 -1.15234867 97.575073 -66.024715
    Oben rechts KachelX + 1 50532 KachelY 48931 1.70310217 -1.15234867 97.580566 -66.024715
    Unten links KachelX 50531 KachelY + 1 48932 1.70300630 -1.15238763 97.575073 -66.026948
    Unten rechts KachelX + 1 50532 KachelY + 1 48932 1.70310217 -1.15238763 97.580566 -66.026948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15234867--1.15238763) × R
    3.89599999999213e-05 × 6371000     		dl = 248.214159999498m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15234867--1.15238763) × R
    3.89599999999213e-05 × 6371000     		dr = 248.214159999498m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70300630-1.70310217) × cos(-1.15234867) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.406342534912462 × 6371000     		do = 248.189050755324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70300630-1.70310217) × cos(-1.15238763) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.406306936040776 × 6371000     		du = 248.167307399873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15234867)-sin(-1.15238763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406342534912462-0.406306936040776)×R²
    abs(1.70310217-1.70300630)×3.55988716862488e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.55988716862488e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.55988716862488e-05×40589641000000     		ar = 61601.3382578682m²