Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50529 / 48993
↖ ↑ ↗
← S 66.162731°
E 97.564087°		 ← 246.84 m → S 66.162731°
E 97.569580°		 →
↑
246.88 m
↓
↑
246.88 m
↓
S 66.164951°
E 97.564087°		 ← 246.82 m →
60 937 m²		 S 66.164951°
E 97.569580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771018981933594 y=0.747581481933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771018981933594 × 216)
    floor (0.771018981933594 × 65536)
    floor (50529.5)     		tx = 50529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747581481933594 × 216)
    floor (0.747581481933594 × 65536)
    floor (48993.5)     		ty = 48993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50529 / 48993 ti = "16/50529/48993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50529/48993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50529 ÷ 216
    50529 ÷ 65536     		x = 0.771011352539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48993 ÷ 216
    48993 ÷ 65536     		y = 0.747573852539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771011352539062 × 2 - 1) × π
    0.542022705078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70281455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747573852539062 × 2 - 1) × π
    -0.495147705078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.55555239267082
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70281455} λ = 1.70281455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55555239267082))-π/2
    2×atan(0.21107275538883)-π/2
    2×0.208019417282846-π/2
    0.416038834565693-1.57079632675     		φ = -1.15475749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70281455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.564087°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15475749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.162731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50529 KachelY 48993 1.70281455 -1.15475749 97.564087 -66.162731
    Oben rechts KachelX + 1 50530 KachelY 48993 1.70291042 -1.15475749 97.569580 -66.162731
    Unten links KachelX 50529 KachelY + 1 48994 1.70281455 -1.15479624 97.564087 -66.164951
    Unten rechts KachelX + 1 50530 KachelY + 1 48994 1.70291042 -1.15479624 97.569580 -66.164951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15475749--1.15479624) × R
    3.87500000000873e-05 × 6371000     		dl = 246.876250000556m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15475749--1.15479624) × R
    3.87500000000873e-05 × 6371000     		dr = 246.876250000556m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70281455-1.70291042) × cos(-1.15475749) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.404140369162363 × 6371000     		do = 246.843994847651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70281455-1.70291042) × cos(-1.15479624) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.404104924351044 × 6371000     		du = 246.822345590387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15475749)-sin(-1.15479624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404140369162363-0.404104924351044)×R²
    abs(1.70291042-1.70281455)×3.54448113192851e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.54448113192851e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.54448113192851e-05×40589641000000     		ar = 60937.2474469413m²