Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50528 / 48928
↖ ↑ ↗
← S 66.018018°
E 97.558593°		 ← 248.28 m → S 66.018018°
E 97.564087°		 →
↑
248.28 m
↓
↑
248.28 m
↓
S 66.020251°
E 97.558593°		 ← 248.26 m →
61 640 m²		 S 66.020251°
E 97.564087°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771003723144531 y=0.746589660644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771003723144531 × 216)
    floor (0.771003723144531 × 65536)
    floor (50528.5)     		tx = 50528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746589660644531 × 216)
    floor (0.746589660644531 × 65536)
    floor (48928.5)     		ty = 48928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50528 / 48928 ti = "16/50528/48928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50528/48928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50528 ÷ 216
    50528 ÷ 65536     		x = 0.77099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48928 ÷ 216
    48928 ÷ 65536     		y = 0.74658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77099609375 × 2 - 1) × π
    0.5419921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70271867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74658203125 × 2 - 1) × π
    -0.4931640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54932059572021
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70271867} λ = 1.70271867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54932059572021))-π/2
    2×atan(0.212392225005422)-π/2
    2×0.209282272146546-π/2
    0.418564544293093-1.57079632675     		φ = -1.15223178
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70271867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.558593°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15223178 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.018018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50528 KachelY 48928 1.70271867 -1.15223178 97.558593 -66.018018
    Oben rechts KachelX + 1 50529 KachelY 48928 1.70281455 -1.15223178 97.564087 -66.018018
    Unten links KachelX 50528 KachelY + 1 48929 1.70271867 -1.15227075 97.558593 -66.020251
    Unten rechts KachelX + 1 50529 KachelY + 1 48929 1.70281455 -1.15227075 97.564087 -66.020251
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15223178--1.15227075) × R
    3.89700000000825e-05 × 6371000     		dl = 248.277870000526m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15223178--1.15227075) × R
    3.89700000000825e-05 × 6371000     		dr = 248.277870000526m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70271867-1.70281455) × cos(-1.15223178) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.406449336963359 × 6371000     		do = 248.280179028924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70271867-1.70281455) × cos(-1.15227075) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.406413730805441 × 6371000     		du = 248.258428954663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15223178)-sin(-1.15227075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406449336963359-0.406413730805441)×R²
    abs(1.70281455-1.70271867)×3.56061579179223e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.56061579179223e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.56061579179223e-05×40589641000000     		ar = 61639.7739892887m²