Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50527 / 48981
↖ ↑ ↗
← S 66.136077°
E 97.553101°		 ← 247.10 m → S 66.136077°
E 97.558593°		 →
↑
247.13 m
↓
↑
247.13 m
↓
S 66.138299°
E 97.553101°		 ← 247.08 m →
61 064 m²		 S 66.138299°
E 97.558593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770988464355469 y=0.747398376464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770988464355469 × 216)
    floor (0.770988464355469 × 65536)
    floor (50527.5)     		tx = 50527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747398376464844 × 216)
    floor (0.747398376464844 × 65536)
    floor (48981.5)     		ty = 48981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50527 / 48981 ti = "16/50527/48981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50527/48981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50527 ÷ 216
    50527 ÷ 65536     		x = 0.770980834960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48981 ÷ 216
    48981 ÷ 65536     		y = 0.747390747070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770980834960938 × 2 - 1) × π
    0.541961669921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70262280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747390747070312 × 2 - 1) × π
    -0.494781494140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.55440190707994
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70262280} λ = 1.70262280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55440190707994))-π/2
    2×atan(0.211315731295872)-π/2
    2×0.208252018475964-π/2
    0.416504036951928-1.57079632675     		φ = -1.15429229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70262280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.553101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15429229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.136077°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50527 KachelY 48981 1.70262280 -1.15429229 97.553101 -66.136077
    Oben rechts KachelX + 1 50528 KachelY 48981 1.70271867 -1.15429229 97.558593 -66.136077
    Unten links KachelX 50527 KachelY + 1 48982 1.70262280 -1.15433108 97.553101 -66.138299
    Unten rechts KachelX + 1 50528 KachelY + 1 48982 1.70271867 -1.15433108 97.558593 -66.138299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15429229--1.15433108) × R
    3.87899999998442e-05 × 6371000     		dl = 247.131089999008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15429229--1.15433108) × R
    3.87899999998442e-05 × 6371000     		dr = 247.131089999008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70262280-1.70271867) × cos(-1.15429229) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.404565842451077 × 6371000     		do = 247.10386872886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70262280-1.70271867) × cos(-1.15433108) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.404530368347528 × 6371000     		du = 247.08220158026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15429229)-sin(-1.15433108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404565842451077-0.404530368347528)×R²
    abs(1.70271867-1.70262280)×3.54741035493711e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.54741035493711e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.54741035493711e-05×40589641000000     		ar = 61064.3711163724m²