Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50525 / 49451
↖ ↑ ↗
← S 67.159296°
E 97.542114°		 ← 237.11 m → S 67.159296°
E 97.547608°		 →
↑
237.06 m
↓
↑
237.06 m
↓
S 67.161428°
E 97.542114°		 ← 237.09 m →
56 209 m²		 S 67.161428°
E 97.547608°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770957946777344 y=0.754570007324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770957946777344 × 216)
    floor (0.770957946777344 × 65536)
    floor (50525.5)     		tx = 50525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754570007324219 × 216)
    floor (0.754570007324219 × 65536)
    floor (49451.5)     		ty = 49451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50525 / 49451 ti = "16/50525/49451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50525/49451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50525 ÷ 216
    50525 ÷ 65536     		x = 0.770950317382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49451 ÷ 216
    49451 ÷ 65536     		y = 0.754562377929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770950317382812 × 2 - 1) × π
    0.541900634765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70243105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754562377929688 × 2 - 1) × π
    -0.509124755859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.59946259272279
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70243105} λ = 1.70243105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59946259272279))-π/2
    2×atan(0.202005047812413)-π/2
    2×0.19932274495611-π/2
    0.398645489912221-1.57079632675     		φ = -1.17215084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70243105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.542114°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17215084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.159296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50525 KachelY 49451 1.70243105 -1.17215084 97.542114 -67.159296
    Oben rechts KachelX + 1 50526 KachelY 49451 1.70252693 -1.17215084 97.547608 -67.159296
    Unten links KachelX 50525 KachelY + 1 49452 1.70243105 -1.17218805 97.542114 -67.161428
    Unten rechts KachelX + 1 50526 KachelY + 1 49452 1.70252693 -1.17218805 97.547608 -67.161428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17215084--1.17218805) × R
    3.72099999998987e-05 × 6371000     		dl = 237.064909999355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17215084--1.17218805) × R
    3.72099999998987e-05 × 6371000     		dr = 237.064909999355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70243105-1.70252693) × cos(-1.17215084) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.388170396177027 × 6371000     		do = 237.114460997317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70243105-1.70252693) × cos(-1.17218805) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.388136103632923 × 6371000     		du = 237.093513345998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17215084)-sin(-1.17218805))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388170396177027-0.388136103632923)×R²
    abs(1.70252693-1.70243105)×3.42925441038089e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.42925441038089e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.42925441038089e-05×40589641000000     		ar = 56209.0353858615m²