Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50524 / 48988
↖ ↑ ↗
← S 66.151628°
E 97.536621°		 ← 246.95 m → S 66.151628°
E 97.542114°		 →
↑
246.94 m
↓
↑
246.94 m
↓
S 66.153849°
E 97.536621°		 ← 246.93 m →
60 980 m²		 S 66.153849°
E 97.542114°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770942687988281 y=0.747505187988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770942687988281 × 216)
    floor (0.770942687988281 × 65536)
    floor (50524.5)     		tx = 50524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747505187988281 × 216)
    floor (0.747505187988281 × 65536)
    floor (48988.5)     		ty = 48988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50524 / 48988 ti = "16/50524/48988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50524/48988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50524 ÷ 216
    50524 ÷ 65536     		x = 0.77093505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48988 ÷ 216
    48988 ÷ 65536     		y = 0.74749755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77093505859375 × 2 - 1) × π
    0.5418701171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70233518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74749755859375 × 2 - 1) × π
    -0.4949951171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.55507302367462
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70233518} λ = 1.70233518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55507302367462))-π/2
    2×atan(0.211173961379275)-π/2
    2×0.208116304703215-π/2
    0.416232609406429-1.57079632675     		φ = -1.15456372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70233518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.536621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15456372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.151628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50524 KachelY 48988 1.70233518 -1.15456372 97.536621 -66.151628
    Oben rechts KachelX + 1 50525 KachelY 48988 1.70243105 -1.15456372 97.542114 -66.151628
    Unten links KachelX 50524 KachelY + 1 48989 1.70233518 -1.15460248 97.536621 -66.153849
    Unten rechts KachelX + 1 50525 KachelY + 1 48989 1.70243105 -1.15460248 97.542114 -66.153849
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15456372--1.15460248) × R
    3.87600000000266e-05 × 6371000     		dl = 246.939960000169m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15456372--1.15460248) × R
    3.87600000000266e-05 × 6371000     		dr = 246.939960000169m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70233518-1.70243105) × cos(-1.15456372) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.404317602407637 × 6371000     		do = 246.952246746302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70233518-1.70243105) × cos(-1.15460248) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.404282151485031 × 6371000     		du = 246.930593756339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15456372)-sin(-1.15460248))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404317602407637-0.404282151485031)×R²
    abs(1.70243105-1.70233518)×3.54509226067612e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.54509226067612e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.54509226067612e-05×40589641000000     		ar = 60979.704446758m²