Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50523 / 49453
↖ ↑ ↗
← S 67.163560°
E 97.531128°		 ← 237.05 m → S 67.163560°
E 97.536621°		 →
↑
237.06 m
↓
↑
237.06 m
↓
S 67.165692°
E 97.531128°		 ← 237.03 m →
56 193 m²		 S 67.165692°
E 97.536621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770927429199219 y=0.754600524902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770927429199219 × 216)
    floor (0.770927429199219 × 65536)
    floor (50523.5)     		tx = 50523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754600524902344 × 216)
    floor (0.754600524902344 × 65536)
    floor (49453.5)     		ty = 49453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50523 / 49453 ti = "16/50523/49453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50523/49453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50523 ÷ 216
    50523 ÷ 65536     		x = 0.770919799804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49453 ÷ 216
    49453 ÷ 65536     		y = 0.754592895507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770919799804688 × 2 - 1) × π
    0.541839599609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.70223931
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754592895507812 × 2 - 1) × π
    -0.509185791015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.59965434032127
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70223931} λ = 1.70223931}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59965434032127))-π/2
    2×atan(0.201966317542951)-π/2
    2×0.199285532873247-π/2
    0.398571065746494-1.57079632675     		φ = -1.17222526
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70223931} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.531128°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17222526 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.163560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50523 KachelY 49453 1.70223931 -1.17222526 97.531128 -67.163560
    Oben rechts KachelX + 1 50524 KachelY 49453 1.70233518 -1.17222526 97.536621 -67.163560
    Unten links KachelX 50523 KachelY + 1 49454 1.70223931 -1.17226247 97.531128 -67.165692
    Unten rechts KachelX + 1 50524 KachelY + 1 49454 1.70233518 -1.17226247 97.536621 -67.165692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17222526--1.17226247) × R
    3.72099999998987e-05 × 6371000     		dl = 237.064909999355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17222526--1.17226247) × R
    3.72099999998987e-05 × 6371000     		dr = 237.064909999355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70223931-1.70233518) × cos(-1.17222526) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.388101810551412 × 6371000     		do = 237.047839399654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70223931-1.70233518) × cos(-1.17226247) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.388067516932541 × 6371000     		du = 237.026893276659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17222526)-sin(-1.17226247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388101810551412-0.388067516932541)×R²
    abs(1.70233518-1.70223931)×3.42936188704179e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.42936188704179e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.42936188704179e-05×40589641000000     		ar = 56193.2419236521m²