Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50522 / 48997
↖ ↑ ↗
← S 66.171609°
E 97.525635°		 ← 246.78 m → S 66.171609°
E 97.531128°		 →
↑
246.75 m
↓
↑
246.75 m
↓
S 66.173828°
E 97.525635°		 ← 246.76 m →
60 891 m²		 S 66.173828°
E 97.531128°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770912170410156 y=0.747642517089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770912170410156 × 216)
    floor (0.770912170410156 × 65536)
    floor (50522.5)     		tx = 50522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747642517089844 × 216)
    floor (0.747642517089844 × 65536)
    floor (48997.5)     		ty = 48997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50522 / 48997 ti = "16/50522/48997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50522/48997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50522 ÷ 216
    50522 ÷ 65536     		x = 0.770904541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48997 ÷ 216
    48997 ÷ 65536     		y = 0.747634887695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770904541015625 × 2 - 1) × π
    0.54180908203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70214343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747634887695312 × 2 - 1) × π
    -0.495269775390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.55593588786778
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70214343} λ = 1.70214343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55593588786778))-π/2
    2×atan(0.210991825520029)-π/2
    2×0.207941937928284-π/2
    0.415883875856567-1.57079632675     		φ = -1.15491245
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70214343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.525635°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15491245 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.171609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50522 KachelY 48997 1.70214343 -1.15491245 97.525635 -66.171609
    Oben rechts KachelX + 1 50523 KachelY 48997 1.70223931 -1.15491245 97.531128 -66.171609
    Unten links KachelX 50522 KachelY + 1 48998 1.70214343 -1.15495118 97.525635 -66.173828
    Unten rechts KachelX + 1 50523 KachelY + 1 48998 1.70223931 -1.15495118 97.531128 -66.173828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15491245--1.15495118) × R
    3.87299999999868e-05 × 6371000     		dl = 246.748829999916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15491245--1.15495118) × R
    3.87299999999868e-05 × 6371000     		dr = 246.748829999916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70214343-1.70223931) × cos(-1.15491245) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.40399862286695 × 6371000     		do = 246.783156696077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70214343-1.70223931) × cos(-1.15495118) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.403963193924926 × 6371000     		du = 246.761514874406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15491245)-sin(-1.15495118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40399862286695-0.403963193924926)×R²
    abs(1.70223931-1.70214343)×3.54289420240184e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.54289420240184e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.54289420240184e-05×40589641000000     		ar = 60890.7851390201m²