Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50521 / 49705
↖ ↑ ↗
← S 67.694856°
E 97.520142°		 ← 231.82 m → S 67.694856°
E 97.525635°		 →
↑
231.84 m
↓
↑
231.84 m
↓
S 67.696941°
E 97.520142°		 ← 231.80 m →
53 742 m²		 S 67.696941°
E 97.525635°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770896911621094 y=0.758445739746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770896911621094 × 216)
    floor (0.770896911621094 × 65536)
    floor (50521.5)     		tx = 50521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758445739746094 × 216)
    floor (0.758445739746094 × 65536)
    floor (49705.5)     		ty = 49705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50521 / 49705 ti = "16/50521/49705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50521/49705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50521 ÷ 216
    50521 ÷ 65536     		x = 0.770889282226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49705 ÷ 216
    49705 ÷ 65536     		y = 0.758438110351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770889282226562 × 2 - 1) × π
    0.541778564453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70204756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758438110351562 × 2 - 1) × π
    -0.516876220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.62381453772978
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70204756} λ = 1.70204756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62381453772978))-π/2
    2×atan(0.19714524498244)-π/2
    2×0.194649102222515-π/2
    0.38929820444503-1.57079632675     		φ = -1.18149812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70204756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.520142°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18149812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.694856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50521 KachelY 49705 1.70204756 -1.18149812 97.520142 -67.694856
    Oben rechts KachelX + 1 50522 KachelY 49705 1.70214343 -1.18149812 97.525635 -67.694856
    Unten links KachelX 50521 KachelY + 1 49706 1.70204756 -1.18153451 97.520142 -67.696941
    Unten rechts KachelX + 1 50522 KachelY + 1 49706 1.70214343 -1.18153451 97.525635 -67.696941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18149812--1.18153451) × R
    3.63899999999973e-05 × 6371000     		dl = 231.840689999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18149812--1.18153451) × R
    3.63899999999973e-05 × 6371000     		dr = 231.840689999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70204756-1.70214343) × cos(-1.18149812) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.379539226658898 × 6371000     		do = 231.817917878508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70204756-1.70214343) × cos(-1.18153451) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.379505559265859 × 6371000     		du = 231.797354246592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18149812)-sin(-1.18153451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379539226658898-0.379505559265859)×R²
    abs(1.70214343-1.70204756)×3.36673930392273e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.36673930392273e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.36673930392273e-05×40589641000000     		ar = 53742.442297797m²