Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50515 / 49746
↖ ↑ ↗
← S 67.780180°
E 97.487183°		 ← 230.98 m → S 67.780180°
E 97.492676°		 →
↑
231.01 m
↓
↑
231.01 m
↓
S 67.782258°
E 97.487183°		 ← 230.96 m →
53 356 m²		 S 67.782258°
E 97.492676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50515 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770805358886719 y=0.759071350097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770805358886719 × 216)
    floor (0.770805358886719 × 65536)
    floor (50515.5)     		tx = 50515
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759071350097656 × 216)
    floor (0.759071350097656 × 65536)
    floor (49746.5)     		ty = 49746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50515 / 49746 ti = "16/50515/49746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50515/49746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50515 ÷ 216
    50515 ÷ 65536     		x = 0.770797729492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49746 ÷ 216
    49746 ÷ 65536     		y = 0.759063720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770797729492188 × 2 - 1) × π
    0.541595458984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.70147232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759063720703125 × 2 - 1) × π
    -0.51812744140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62774536349863
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70147232} λ = 1.70147232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62774536349863))-π/2
    2×atan(0.196371822463713)-π/2
    2×0.193904505975357-π/2
    0.387809011950713-1.57079632675     		φ = -1.18298731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70147232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.487183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18298731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.780180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50515 KachelY 49746 1.70147232 -1.18298731 97.487183 -67.780180
    Oben rechts KachelX + 1 50516 KachelY 49746 1.70156819 -1.18298731 97.492676 -67.780180
    Unten links KachelX 50515 KachelY + 1 49747 1.70147232 -1.18302357 97.487183 -67.782258
    Unten rechts KachelX + 1 50516 KachelY + 1 49747 1.70156819 -1.18302357 97.492676 -67.782258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18298731--1.18302357) × R
    3.62600000001212e-05 × 6371000     		dl = 231.012460000772m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18298731--1.18302357) × R
    3.62600000001212e-05 × 6371000     		dr = 231.012460000772m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70147232-1.70156819) × cos(-1.18298731) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.378161043998795 × 6371000     		do = 230.976140764891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70147232-1.70156819) × cos(-1.18302357) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.378127476424123 × 6371000     		du = 230.955638100813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18298731)-sin(-1.18302357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378161043998795-0.378127476424123)×R²
    abs(1.70156819-1.70147232)×3.35675746716557e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.35675746716557e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.35675746716557e-05×40589641000000     		ar = 53355.9982999838m²