Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50513 / 49710
↖ ↑ ↗
← S 67.705278°
E 97.476196°		 ← 231.72 m → S 67.705278°
E 97.481689°		 →
↑
231.71 m
↓
↑
231.71 m
↓
S 67.707362°
E 97.476196°		 ← 231.69 m →
53 689 m²		 S 67.707362°
E 97.481689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770774841308594 y=0.758522033691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770774841308594 × 216)
    floor (0.770774841308594 × 65536)
    floor (50513.5)     		tx = 50513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758522033691406 × 216)
    floor (0.758522033691406 × 65536)
    floor (49710.5)     		ty = 49710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50513 / 49710 ti = "16/50513/49710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50513/49710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50513 ÷ 216
    50513 ÷ 65536     		x = 0.770767211914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49710 ÷ 216
    49710 ÷ 65536     		y = 0.758514404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770767211914062 × 2 - 1) × π
    0.541534423828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70128057
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758514404296875 × 2 - 1) × π
    -0.51702880859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.62429390672598
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70128057} λ = 1.70128057}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62429390672598))-π/2
    2×atan(0.197050762312088)-π/2
    2×0.194558152724052-π/2
    0.389116305448104-1.57079632675     		φ = -1.18168002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70128057} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.476196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18168002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.705278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50513 KachelY 49710 1.70128057 -1.18168002 97.476196 -67.705278
    Oben rechts KachelX + 1 50514 KachelY 49710 1.70137644 -1.18168002 97.481689 -67.705278
    Unten links KachelX 50513 KachelY + 1 49711 1.70128057 -1.18171639 97.476196 -67.707362
    Unten rechts KachelX + 1 50514 KachelY + 1 49711 1.70137644 -1.18171639 97.481689 -67.707362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18168002--1.18171639) × R
    3.63700000001188e-05 × 6371000     		dl = 231.713270000757m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18168002--1.18171639) × R
    3.63700000001188e-05 × 6371000     		dr = 231.713270000757m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70128057-1.70137644) × cos(-1.18168002) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.379370930930848 × 6371000     		do = 231.715124906071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70128057-1.70137644) × cos(-1.18171639) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.379337279531346 × 6371000     		du = 231.694571042813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18168002)-sin(-1.18171639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379370930930848-0.379337279531346)×R²
    abs(1.70137644-1.70128057)×3.36513995010668e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.36513995010668e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.36513995010668e-05×40589641000000     		ar = 53689.0880053669m²