Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50511 / 49140
↖ ↑ ↗
← S 66.486976°
E 97.465210°		 ← 243.68 m → S 66.486976°
E 97.470703°		 →
↑
243.69 m
↓
↑
243.69 m
↓
S 66.489168°
E 97.465210°		 ← 243.66 m →
59 380 m²		 S 66.489168°
E 97.470703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770744323730469 y=0.749824523925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770744323730469 × 216)
    floor (0.770744323730469 × 65536)
    floor (50511.5)     		tx = 50511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749824523925781 × 216)
    floor (0.749824523925781 × 65536)
    floor (49140.5)     		ty = 49140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50511 / 49140 ti = "16/50511/49140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50511/49140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50511 ÷ 216
    50511 ÷ 65536     		x = 0.770736694335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49140 ÷ 216
    49140 ÷ 65536     		y = 0.74981689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770736694335938 × 2 - 1) × π
    0.541473388671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70108882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74981689453125 × 2 - 1) × π
    -0.4996337890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.56964584115912
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70108882} λ = 1.70108882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56964584115912))-π/2
    2×atan(0.208118876446591)-π/2
    2×0.205189844340042-π/2
    0.410379688680085-1.57079632675     		φ = -1.16041664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70108882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.465210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16041664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.486976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50511 KachelY 49140 1.70108882 -1.16041664 97.465210 -66.486976
    Oben rechts KachelX + 1 50512 KachelY 49140 1.70118469 -1.16041664 97.470703 -66.486976
    Unten links KachelX 50511 KachelY + 1 49141 1.70108882 -1.16045489 97.465210 -66.489168
    Unten rechts KachelX + 1 50512 KachelY + 1 49141 1.70118469 -1.16045489 97.470703 -66.489168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16041664--1.16045489) × R
    3.82500000000174e-05 × 6371000     		dl = 243.690750000111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16041664--1.16045489) × R
    3.82500000000174e-05 × 6371000     		dr = 243.690750000111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70108882-1.70118469) × cos(-1.16041664) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.398957517909633 × 6371000     		do = 243.678372688755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70108882-1.70118469) × cos(-1.16045489) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.398922443537859 × 6371000     		du = 243.656949691434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16041664)-sin(-1.16045489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398957517909633-0.398922443537859)×R²
    abs(1.70118469-1.70108882)×3.50743717744129e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.50743717744129e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.50743717744129e-05×40589641000000     		ar = 59379.5551132473m²