Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50510 / 49352
↖ ↑ ↗
← S 66.947274°
E 97.459717°		 ← 239.17 m → S 66.947274°
E 97.465210°		 →
↑
239.17 m
↓
↑
239.17 m
↓
S 66.949425°
E 97.459717°		 ← 239.15 m →
57 199 m²		 S 66.949425°
E 97.465210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770729064941406 y=0.753059387207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770729064941406 × 216)
    floor (0.770729064941406 × 65536)
    floor (50510.5)     		tx = 50510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753059387207031 × 216)
    floor (0.753059387207031 × 65536)
    floor (49352.5)     		ty = 49352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50510 / 49352 ti = "16/50510/49352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50510/49352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50510 ÷ 216
    50510 ÷ 65536     		x = 0.770721435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49352 ÷ 216
    49352 ÷ 65536     		y = 0.7530517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770721435546875 × 2 - 1) × π
    0.54144287109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.70099295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7530517578125 × 2 - 1) × π
    -0.506103515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.58997108659802
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70099295} λ = 1.70099295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58997108659802))-π/2
    2×atan(0.203931508002639)-π/2
    2×0.201172982071061-π/2
    0.402345964142121-1.57079632675     		φ = -1.16845036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70099295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.459717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16845036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.947274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50510 KachelY 49352 1.70099295 -1.16845036 97.459717 -66.947274
    Oben rechts KachelX + 1 50511 KachelY 49352 1.70108882 -1.16845036 97.465210 -66.947274
    Unten links KachelX 50510 KachelY + 1 49353 1.70099295 -1.16848790 97.459717 -66.949425
    Unten rechts KachelX + 1 50511 KachelY + 1 49353 1.70108882 -1.16848790 97.465210 -66.949425
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16845036--1.16848790) × R
    3.75399999998915e-05 × 6371000     		dl = 239.167339999309m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16845036--1.16848790) × R
    3.75399999998915e-05 × 6371000     		dr = 239.167339999309m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70099295-1.70108882) × cos(-1.16845036) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.391578047241506 × 6371000     		do = 239.171082255589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70099295-1.70108882) × cos(-1.16848790) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.391543504726136 × 6371000     		du = 239.149984109656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16845036)-sin(-1.16848790))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391578047241506-0.391543504726136)×R²
    abs(1.70108882-1.70099295)×3.45425153706058e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.45425153706058e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.45425153706058e-05×40589641000000     		ar = 57199.3885610921m²