Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50509 / 49225
↖ ↑ ↗
← S 66.672562°
E 97.454223°		 ← 241.89 m → S 66.672562°
E 97.459717°		 →
↑
241.84 m
↓
↑
241.84 m
↓
S 66.674737°
E 97.454223°		 ← 241.87 m →
58 496 m²		 S 66.674737°
E 97.459717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770713806152344 y=0.751121520996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770713806152344 × 216)
    floor (0.770713806152344 × 65536)
    floor (50509.5)     		tx = 50509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751121520996094 × 216)
    floor (0.751121520996094 × 65536)
    floor (49225.5)     		ty = 49225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50509 / 49225 ti = "16/50509/49225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50509/49225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50509 ÷ 216
    50509 ÷ 65536     		x = 0.770706176757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49225 ÷ 216
    49225 ÷ 65536     		y = 0.751113891601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770706176757812 × 2 - 1) × π
    0.541412353515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70089707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751113891601562 × 2 - 1) × π
    -0.502227783203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.57779511409453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70089707} λ = 1.70089707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57779511409453))-π/2
    2×atan(0.206429750840195)-π/2
    2×0.20357029900043-π/2
    0.40714059800086-1.57079632675     		φ = -1.16365573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70089707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.454223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16365573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.672562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50509 KachelY 49225 1.70089707 -1.16365573 97.454223 -66.672562
    Oben rechts KachelX + 1 50510 KachelY 49225 1.70099295 -1.16365573 97.459717 -66.672562
    Unten links KachelX 50509 KachelY + 1 49226 1.70089707 -1.16369369 97.454223 -66.674737
    Unten rechts KachelX + 1 50510 KachelY + 1 49226 1.70099295 -1.16369369 97.459717 -66.674737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16365573--1.16369369) × R
    3.79599999997815e-05 × 6371000     		dl = 241.843159998608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16365573--1.16369369) × R
    3.79599999997815e-05 × 6371000     		dr = 241.843159998608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70089707-1.70099295) × cos(-1.16365573) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.395985283786725 × 6371000     		do = 241.888196659743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70089707-1.70099295) × cos(-1.16369369) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.395950426471151 × 6371000     		du = 241.866904016935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16365573)-sin(-1.16369369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395985283786725-0.395950426471151)×R²
    abs(1.70099295-1.70089707)×3.48573155746212e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.48573155746212e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.48573155746212e-05×40589641000000     		ar = 58496.4311134815m²