Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50509 / 49211
↖ ↑ ↗
← S 66.642091°
E 97.454223°		 ← 242.19 m → S 66.642091°
E 97.459717°		 →
↑
242.16 m
↓
↑
242.16 m
↓
S 66.644268°
E 97.454223°		 ← 242.17 m →
58 646 m²		 S 66.644268°
E 97.459717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770713806152344 y=0.750907897949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770713806152344 × 216)
    floor (0.770713806152344 × 65536)
    floor (50509.5)     		tx = 50509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750907897949219 × 216)
    floor (0.750907897949219 × 65536)
    floor (49211.5)     		ty = 49211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50509 / 49211 ti = "16/50509/49211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50509/49211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50509 ÷ 216
    50509 ÷ 65536     		x = 0.770706176757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49211 ÷ 216
    49211 ÷ 65536     		y = 0.750900268554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770706176757812 × 2 - 1) × π
    0.541412353515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70089707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750900268554688 × 2 - 1) × π
    -0.501800537109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.57645288090517
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70089707} λ = 1.70089707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57645288090517))-π/2
    2×atan(0.20670701373715)-π/2
    2×0.203836215122967-π/2
    0.407672430245935-1.57079632675     		φ = -1.16312390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70089707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.454223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16312390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.642091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50509 KachelY 49211 1.70089707 -1.16312390 97.454223 -66.642091
    Oben rechts KachelX + 1 50510 KachelY 49211 1.70099295 -1.16312390 97.459717 -66.642091
    Unten links KachelX 50509 KachelY + 1 49212 1.70089707 -1.16316191 97.454223 -66.644268
    Unten rechts KachelX + 1 50510 KachelY + 1 49212 1.70099295 -1.16316191 97.459717 -66.644268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16312390--1.16316191) × R
    3.80099999999217e-05 × 6371000     		dl = 242.161709999501m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16312390--1.16316191) × R
    3.80099999999217e-05 × 6371000     		dr = 242.161709999501m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70089707-1.70099295) × cos(-1.16312390) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.396473584306985 × 6371000     		do = 242.186475755228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70089707-1.70099295) × cos(-1.16316191) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.396438689087184 × 6371000     		du = 242.165159958568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16312390)-sin(-1.16316191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396473584306985-0.396438689087184)×R²
    abs(1.70099295-1.70089707)×3.48952198002683e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.48952198002683e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.48952198002683e-05×40589641000000     		ar = 58645.7101797804m²