Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50508 / 49359
↖ ↑ ↗
← S 66.962327°
E 97.448731°		 ← 239.02 m → S 66.962327°
E 97.454223°		 →
↑
238.98 m
↓
↑
238.98 m
↓
S 66.964476°
E 97.448731°		 ← 239 m →
57 118 m²		 S 66.964476°
E 97.454223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770698547363281 y=0.753166198730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770698547363281 × 216)
    floor (0.770698547363281 × 65536)
    floor (50508.5)     		tx = 50508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753166198730469 × 216)
    floor (0.753166198730469 × 65536)
    floor (49359.5)     		ty = 49359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50508 / 49359 ti = "16/50508/49359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50508/49359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50508 ÷ 216
    50508 ÷ 65536     		x = 0.77069091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49359 ÷ 216
    49359 ÷ 65536     		y = 0.753158569335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77069091796875 × 2 - 1) × π
    0.5413818359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.70080120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753158569335938 × 2 - 1) × π
    -0.506317138671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.5906422031927
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70080120} λ = 1.70080120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5906422031927))-π/2
    2×atan(0.203794692098287)-π/2
    2×0.201041625372748-π/2
    0.402083250745496-1.57079632675     		φ = -1.16871308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70080120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.448731°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16871308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.962327°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50508 KachelY 49359 1.70080120 -1.16871308 97.448731 -66.962327
    Oben rechts KachelX + 1 50509 KachelY 49359 1.70089707 -1.16871308 97.454223 -66.962327
    Unten links KachelX 50508 KachelY + 1 49360 1.70080120 -1.16875059 97.448731 -66.964476
    Unten rechts KachelX + 1 50509 KachelY + 1 49360 1.70089707 -1.16875059 97.454223 -66.964476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16871308--1.16875059) × R
    3.75099999998518e-05 × 6371000     		dl = 238.976209999056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16871308--1.16875059) × R
    3.75099999998518e-05 × 6371000     		dr = 238.976209999056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70080120-1.70089707) × cos(-1.16871308) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.391336293263031 × 6371000     		do = 239.023421882187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70080120-1.70089707) × cos(-1.16875059) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.391301774494954 × 6371000     		du = 239.00233824081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16871308)-sin(-1.16875059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391336293263031-0.391301774494954)×R²
    abs(1.70089707-1.70080120)×3.45187680772518e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.45187680772518e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.45187680772518e-05×40589641000000     		ar = 57118.392224704m²