Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50507 / 49351
↖ ↑ ↗
← S 66.945123°
E 97.443237°		 ← 239.22 m → S 66.945123°
E 97.448731°		 →
↑
239.17 m
↓
↑
239.17 m
↓
S 66.947274°
E 97.443237°		 ← 239.20 m →
57 210 m²		 S 66.947274°
E 97.448731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770683288574219 y=0.753044128417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770683288574219 × 216)
    floor (0.770683288574219 × 65536)
    floor (50507.5)     		tx = 50507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753044128417969 × 216)
    floor (0.753044128417969 × 65536)
    floor (49351.5)     		ty = 49351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50507 / 49351 ti = "16/50507/49351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50507/49351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50507 ÷ 216
    50507 ÷ 65536     		x = 0.770675659179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49351 ÷ 216
    49351 ÷ 65536     		y = 0.753036499023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770675659179688 × 2 - 1) × π
    0.541351318359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.70070532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753036499023438 × 2 - 1) × π
    -0.506072998046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.58987521279878
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70070532} λ = 1.70070532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58987521279878))-π/2
    2×atan(0.203951060628373)-π/2
    2×0.201191753936477-π/2
    0.402383507872955-1.57079632675     		φ = -1.16841282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70070532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.443237°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16841282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.945123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50507 KachelY 49351 1.70070532 -1.16841282 97.443237 -66.945123
    Oben rechts KachelX + 1 50508 KachelY 49351 1.70080120 -1.16841282 97.448731 -66.945123
    Unten links KachelX 50507 KachelY + 1 49352 1.70070532 -1.16845036 97.443237 -66.947274
    Unten rechts KachelX + 1 50508 KachelY + 1 49352 1.70080120 -1.16845036 97.448731 -66.947274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16841282--1.16845036) × R
    3.75400000001136e-05 × 6371000     		dl = 239.167340000724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16841282--1.16845036) × R
    3.75400000001136e-05 × 6371000     		dr = 239.167340000724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70070532-1.70080120) × cos(-1.16841282) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.391612589205045 × 6371000     		do = 239.217129702377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70070532-1.70080120) × cos(-1.16845036) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.391578047241506 × 6371000     		du = 239.196029692827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16841282)-sin(-1.16845036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391612589205045-0.391578047241506)×R²
    abs(1.70080120-1.70070532)×3.45419635388589e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.45419635388589e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.45419635388589e-05×40589641000000     		ar = 57210.4013834202m²