Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50504 / 49231
↖ ↑ ↗
← S 66.685610°
E 97.426758°		 ← 241.76 m → S 66.685610°
E 97.432251°		 →
↑
241.72 m
↓
↑
241.72 m
↓
S 66.687784°
E 97.426758°		 ← 241.74 m →
58 435 m²		 S 66.687784°
E 97.432251°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770637512207031 y=0.751213073730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770637512207031 × 216)
    floor (0.770637512207031 × 65536)
    floor (50504.5)     		tx = 50504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751213073730469 × 216)
    floor (0.751213073730469 × 65536)
    floor (49231.5)     		ty = 49231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50504 / 49231 ti = "16/50504/49231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50504/49231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50504 ÷ 216
    50504 ÷ 65536     		x = 0.7706298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49231 ÷ 216
    49231 ÷ 65536     		y = 0.751205444335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7706298828125 × 2 - 1) × π
    0.541259765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70041770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751205444335938 × 2 - 1) × π
    -0.502410888671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.57837035688997
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70041770} λ = 1.70041770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57837035688997))-π/2
    2×atan(0.206311037760955)-π/2
    2×0.203456435235539-π/2
    0.406912870471079-1.57079632675     		φ = -1.16388346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70041770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.426758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16388346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.685610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50504 KachelY 49231 1.70041770 -1.16388346 97.426758 -66.685610
    Oben rechts KachelX + 1 50505 KachelY 49231 1.70051358 -1.16388346 97.432251 -66.685610
    Unten links KachelX 50504 KachelY + 1 49232 1.70041770 -1.16392140 97.426758 -66.687784
    Unten rechts KachelX + 1 50505 KachelY + 1 49232 1.70051358 -1.16392140 97.432251 -66.687784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16388346--1.16392140) × R
    3.79399999999031e-05 × 6371000     		dl = 241.715739999382m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16388346--1.16392140) × R
    3.79399999999031e-05 × 6371000     		dr = 241.715739999382m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70041770-1.70051358) × cos(-1.16388346) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.395776158886451 × 6371000     		do = 241.760452404345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70041770-1.70051358) × cos(-1.16392140) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.395741316516025 × 6371000     		du = 241.739168890804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16388346)-sin(-1.16392140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395776158886451-0.395741316516025)×R²
    abs(1.70051358-1.70041770)×3.48423704261136e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.48423704261136e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.48423704261136e-05×40589641000000     		ar = 58434.7343823665m²