Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50502 / 49213
↖ ↑ ↗
← S 66.646446°
E 97.415772°		 ← 242.12 m → S 66.646446°
E 97.421265°		 →
↑
242.16 m
↓
↑
242.16 m
↓
S 66.648623°
E 97.415772°		 ← 242.10 m →
58 629 m²		 S 66.648623°
E 97.421265°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770606994628906 y=0.750938415527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770606994628906 × 216)
    floor (0.770606994628906 × 65536)
    floor (50502.5)     		tx = 50502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750938415527344 × 216)
    floor (0.750938415527344 × 65536)
    floor (49213.5)     		ty = 49213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50502 / 49213 ti = "16/50502/49213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50502/49213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50502 ÷ 216
    50502 ÷ 65536     		x = 0.770599365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49213 ÷ 216
    49213 ÷ 65536     		y = 0.750930786132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770599365234375 × 2 - 1) × π
    0.54119873046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70022596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750930786132812 × 2 - 1) × π
    -0.501861572265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.57664462850365
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70022596} λ = 1.70022596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57664462850365))-π/2
    2×atan(0.206667381963447)-π/2
    2×0.203798207039314-π/2
    0.407596414078627-1.57079632675     		φ = -1.16319991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70022596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.415772°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16319991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.646446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50502 KachelY 49213 1.70022596 -1.16319991 97.415772 -66.646446
    Oben rechts KachelX + 1 50503 KachelY 49213 1.70032183 -1.16319991 97.421265 -66.646446
    Unten links KachelX 50502 KachelY + 1 49214 1.70022596 -1.16323792 97.415772 -66.648623
    Unten rechts KachelX + 1 50503 KachelY + 1 49214 1.70032183 -1.16323792 97.421265 -66.648623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16319991--1.16323792) × R
    3.80100000001438e-05 × 6371000     		dl = 242.161710000916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16319991--1.16323792) × R
    3.80100000001438e-05 × 6371000     		dr = 242.161710000916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70022596-1.70032183) × cos(-1.16319991) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.396403802475388 × 6371000     		do = 242.118594533457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70022596-1.70032183) × cos(-1.16323792) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.396368906110271 × 6371000     		du = 242.097280260426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16319991)-sin(-1.16323792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396403802475388-0.396368906110271)×R²
    abs(1.70032183-1.70022596)×3.48963651170542e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.48963651170542e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.48963651170542e-05×40589641000000     		ar = 58629.272132033m²