Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50501 / 49734
↖ ↑ ↗
← S 67.755239°
E 97.410278°		 ← 231.25 m → S 67.755239°
E 97.415772°		 →
↑
231.27 m
↓
↑
231.27 m
↓
S 67.757319°
E 97.410278°		 ← 231.23 m →
53 477 m²		 S 67.757319°
E 97.415772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770591735839844 y=0.758888244628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770591735839844 × 216)
    floor (0.770591735839844 × 65536)
    floor (50501.5)     		tx = 50501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758888244628906 × 216)
    floor (0.758888244628906 × 65536)
    floor (49734.5)     		ty = 49734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50501 / 49734 ti = "16/50501/49734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50501/49734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50501 ÷ 216
    50501 ÷ 65536     		x = 0.770584106445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49734 ÷ 216
    49734 ÷ 65536     		y = 0.758880615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770584106445312 × 2 - 1) × π
    0.541168212890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70013008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758880615234375 × 2 - 1) × π
    -0.51776123046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.62659487790775
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70013008} λ = 1.70013008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62659487790775))-π/2
    2×atan(0.196597875426316)-π/2
    2×0.194122156265668-π/2
    0.388244312531337-1.57079632675     		φ = -1.18255201
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70013008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.410278°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18255201 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.755239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50501 KachelY 49734 1.70013008 -1.18255201 97.410278 -67.755239
    Oben rechts KachelX + 1 50502 KachelY 49734 1.70022596 -1.18255201 97.415772 -67.755239
    Unten links KachelX 50501 KachelY + 1 49735 1.70013008 -1.18258831 97.410278 -67.757319
    Unten rechts KachelX + 1 50502 KachelY + 1 49735 1.70022596 -1.18258831 97.415772 -67.757319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18255201--1.18258831) × R
    3.63000000001001e-05 × 6371000     		dl = 231.267300000638m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18255201--1.18258831) × R
    3.63000000001001e-05 × 6371000     		dr = 231.267300000638m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70013008-1.70022596) × cos(-1.18255201) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.378563982704047 × 6371000     		do = 231.24636910931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70013008-1.70022596) × cos(-1.18258831) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.378530384077622 × 6371000     		du = 231.225845338632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18255201)-sin(-1.18258831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378563982704047-0.378530384077622)×R²
    abs(1.70022596-1.70013008)×3.35986264252131e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.35986264252131e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.35986264252131e-05×40589641000000     		ar = 53477.3501863178m²