Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50501 / 49481
↖ ↑ ↗
← S 67.223180°
E 97.410278°		 ← 236.49 m → S 67.223180°
E 97.415772°		 →
↑
236.43 m
↓
↑
236.43 m
↓
S 67.225306°
E 97.410278°		 ← 236.47 m →
55 910 m²		 S 67.225306°
E 97.415772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770591735839844 y=0.755027770996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770591735839844 × 216)
    floor (0.770591735839844 × 65536)
    floor (50501.5)     		tx = 50501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755027770996094 × 216)
    floor (0.755027770996094 × 65536)
    floor (49481.5)     		ty = 49481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50501 / 49481 ti = "16/50501/49481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50501/49481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50501 ÷ 216
    50501 ÷ 65536     		x = 0.770584106445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49481 ÷ 216
    49481 ÷ 65536     		y = 0.755020141601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770584106445312 × 2 - 1) × π
    0.541168212890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70013008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755020141601562 × 2 - 1) × π
    -0.510040283203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.6023388067
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70013008} λ = 1.70013008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6023388067))-π/2
    2×atan(0.201424872824098)-π/2
    2×0.198765253700976-π/2
    0.397530507401953-1.57079632675     		φ = -1.17326582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70013008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.410278°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17326582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.223180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50501 KachelY 49481 1.70013008 -1.17326582 97.410278 -67.223180
    Oben rechts KachelX + 1 50502 KachelY 49481 1.70022596 -1.17326582 97.415772 -67.223180
    Unten links KachelX 50501 KachelY + 1 49482 1.70013008 -1.17330293 97.410278 -67.225306
    Unten rechts KachelX + 1 50502 KachelY + 1 49482 1.70022596 -1.17330293 97.415772 -67.225306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17326582--1.17330293) × R
    3.71100000000624e-05 × 6371000     		dl = 236.427810000397m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17326582--1.17330293) × R
    3.71100000000624e-05 × 6371000     		dr = 236.427810000397m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70013008-1.70022596) × cos(-1.17326582) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.387142603341168 × 6371000     		do = 236.48663222185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70013008-1.70022596) × cos(-1.17330293) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.387108386917947 × 6371000     		du = 236.465731069086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17326582)-sin(-1.17330293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387142603341168-0.387108386917947)×R²
    abs(1.70022596-1.70013008)×3.42164232206565e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.42164232206565e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.42164232206565e-05×40589641000000     		ar = 55909.5457504893m²