Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50501 / 49361
↖ ↑ ↗
← S 66.966626°
E 97.410278°		 ← 239.01 m → S 66.966626°
E 97.415772°		 →
↑
238.98 m
↓
↑
238.98 m
↓
S 66.968775°
E 97.410278°		 ← 238.99 m →
57 114 m²		 S 66.968775°
E 97.415772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770591735839844 y=0.753196716308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770591735839844 × 216)
    floor (0.770591735839844 × 65536)
    floor (50501.5)     		tx = 50501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753196716308594 × 216)
    floor (0.753196716308594 × 65536)
    floor (49361.5)     		ty = 49361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50501 / 49361 ti = "16/50501/49361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50501/49361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50501 ÷ 216
    50501 ÷ 65536     		x = 0.770584106445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49361 ÷ 216
    49361 ÷ 65536     		y = 0.753189086914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770584106445312 × 2 - 1) × π
    0.541168212890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70013008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753189086914062 × 2 - 1) × π
    -0.506378173828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.59083395079118
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70013008} λ = 1.70013008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59083395079118))-π/2
    2×atan(0.203755618701729)-π/2
    2×0.201004109785228-π/2
    0.402008219570457-1.57079632675     		φ = -1.16878811
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70013008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.410278°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16878811 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.966626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50501 KachelY 49361 1.70013008 -1.16878811 97.410278 -66.966626
    Oben rechts KachelX + 1 50502 KachelY 49361 1.70022596 -1.16878811 97.415772 -66.966626
    Unten links KachelX 50501 KachelY + 1 49362 1.70013008 -1.16882562 97.410278 -66.968775
    Unten rechts KachelX + 1 50502 KachelY + 1 49362 1.70022596 -1.16882562 97.415772 -66.968775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16878811--1.16882562) × R
    3.75100000000739e-05 × 6371000     		dl = 238.976210000471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16878811--1.16882562) × R
    3.75100000000739e-05 × 6371000     		dr = 238.976210000471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70013008-1.70022596) × cos(-1.16878811) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.391267245973544 × 6371000     		do = 239.006176278306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70013008-1.70022596) × cos(-1.16882562) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.391232726104245 × 6371000     		du = 238.985089765056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16878811)-sin(-1.16882562))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391267245973544-0.391232726104245)×R²
    abs(1.70022596-1.70013008)×3.45198692989213e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.45198692989213e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.45198692989213e-05×40589641000000     		ar = 57114.2705926235m²