Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50501 / 49005
↖ ↑ ↗
← S 66.189357°
E 97.410278°		 ← 246.61 m → S 66.189357°
E 97.415772°		 →
↑
246.56 m
↓
↑
246.56 m
↓
S 66.191574°
E 97.410278°		 ← 246.59 m →
60 801 m²		 S 66.191574°
E 97.415772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770591735839844 y=0.747764587402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770591735839844 × 216)
    floor (0.770591735839844 × 65536)
    floor (50501.5)     		tx = 50501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747764587402344 × 216)
    floor (0.747764587402344 × 65536)
    floor (49005.5)     		ty = 49005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50501 / 49005 ti = "16/50501/49005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50501/49005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50501 ÷ 216
    50501 ÷ 65536     		x = 0.770584106445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49005 ÷ 216
    49005 ÷ 65536     		y = 0.747756958007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770584106445312 × 2 - 1) × π
    0.541168212890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70013008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747756958007812 × 2 - 1) × π
    -0.495513916015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.5567028782617
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70013008} λ = 1.70013008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5567028782617))-π/2
    2×atan(0.210830058861326)-π/2
    2×0.20778706073783-π/2
    0.41557412147566-1.57079632675     		φ = -1.15522221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70013008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.410278°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15522221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.189357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50501 KachelY 49005 1.70013008 -1.15522221 97.410278 -66.189357
    Oben rechts KachelX + 1 50502 KachelY 49005 1.70022596 -1.15522221 97.415772 -66.189357
    Unten links KachelX 50501 KachelY + 1 49006 1.70013008 -1.15526091 97.410278 -66.191574
    Unten rechts KachelX + 1 50502 KachelY + 1 49006 1.70022596 -1.15526091 97.415772 -66.191574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15522221--1.15526091) × R
    3.86999999999471e-05 × 6371000     		dl = 246.557699999663m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15522221--1.15526091) × R
    3.86999999999471e-05 × 6371000     		dr = 246.557699999663m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70013008-1.70022596) × cos(-1.15522221) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.403715247557911 × 6371000     		do = 246.610056469155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70013008-1.70022596) × cos(-1.15526091) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.403679841218036 × 6371000     		du = 246.58842845404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15522221)-sin(-1.15526091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403715247557911-0.403679841218036)×R²
    abs(1.70022596-1.70013008)×3.54063398754767e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.54063398754767e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.54063398754767e-05×40589641000000     		ar = 60800.942050485m²