Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50500 / 49370
↖ ↑ ↗
← S 66.985961°
E 97.404785°		 ← 238.79 m → S 66.985961°
E 97.410278°		 →
↑
238.79 m
↓
↑
238.79 m
↓
S 66.988109°
E 97.404785°		 ← 238.77 m →
57 017 m²		 S 66.988109°
E 97.410278°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770576477050781 y=0.753334045410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770576477050781 × 216)
    floor (0.770576477050781 × 65536)
    floor (50500.5)     		tx = 50500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753334045410156 × 216)
    floor (0.753334045410156 × 65536)
    floor (49370.5)     		ty = 49370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50500 / 49370 ti = "16/50500/49370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50500/49370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50500 ÷ 216
    50500 ÷ 65536     		x = 0.77056884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49370 ÷ 216
    49370 ÷ 65536     		y = 0.753326416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77056884765625 × 2 - 1) × π
    0.5411376953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70003421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753326416015625 × 2 - 1) × π
    -0.50665283203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.59169681498434
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70003421} λ = 1.70003421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59169681498434))-π/2
    2×atan(0.20357988110394)-π/2
    2×0.200835371543283-π/2
    0.401670743086565-1.57079632675     		φ = -1.16912558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70003421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.404785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16912558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.985961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50500 KachelY 49370 1.70003421 -1.16912558 97.404785 -66.985961
    Oben rechts KachelX + 1 50501 KachelY 49370 1.70013008 -1.16912558 97.410278 -66.985961
    Unten links KachelX 50500 KachelY + 1 49371 1.70003421 -1.16916306 97.404785 -66.988109
    Unten rechts KachelX + 1 50501 KachelY + 1 49371 1.70013008 -1.16916306 97.410278 -66.988109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16912558--1.16916306) × R
    3.74800000000342e-05 × 6371000     		dl = 238.785080000218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16912558--1.16916306) × R
    3.74800000000342e-05 × 6371000     		dr = 238.785080000218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70003421-1.70013008) × cos(-1.16912558) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.390956657786306 × 6371000     		do = 238.791545175946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70003421-1.70013008) × cos(-1.16916306) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.390922160579047 × 6371000     		du = 238.770474703653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16912558)-sin(-1.16916306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390956657786306-0.390922160579047)×R²
    abs(1.70013008-1.70003421)×3.44972072585104e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.44972072585104e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.44972072585104e-05×40589641000000     		ar = 57017.3425674945m²