Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50500 / 48952
↖ ↑ ↗
← S 66.071547°
E 97.404785°		 ← 247.73 m → S 66.071547°
E 97.410278°		 →
↑
247.70 m
↓
↑
247.70 m
↓
S 66.073774°
E 97.404785°		 ← 247.71 m →
61 362 m²		 S 66.073774°
E 97.410278°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770576477050781 y=0.746955871582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770576477050781 × 216)
    floor (0.770576477050781 × 65536)
    floor (50500.5)     		tx = 50500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746955871582031 × 216)
    floor (0.746955871582031 × 65536)
    floor (48952.5)     		ty = 48952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50500 / 48952 ti = "16/50500/48952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50500/48952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50500 ÷ 216
    50500 ÷ 65536     		x = 0.77056884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48952 ÷ 216
    48952 ÷ 65536     		y = 0.7469482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77056884765625 × 2 - 1) × π
    0.5411376953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70003421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7469482421875 × 2 - 1) × π
    -0.493896484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.55162156690198
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70003421} λ = 1.70003421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55162156690198))-π/2
    2×atan(0.21190407843742)-π/2
    2×0.208815149308261-π/2
    0.417630298616522-1.57079632675     		φ = -1.15316603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70003421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.404785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15316603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.071547°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50500 KachelY 48952 1.70003421 -1.15316603 97.404785 -66.071547
    Oben rechts KachelX + 1 50501 KachelY 48952 1.70013008 -1.15316603 97.410278 -66.071547
    Unten links KachelX 50500 KachelY + 1 48953 1.70003421 -1.15320491 97.404785 -66.073774
    Unten rechts KachelX + 1 50501 KachelY + 1 48953 1.70013008 -1.15320491 97.410278 -66.073774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15316603--1.15320491) × R
    3.88799999999634e-05 × 6371000     		dl = 247.704479999767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15316603--1.15320491) × R
    3.88799999999634e-05 × 6371000     		dr = 247.704479999767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70003421-1.70013008) × cos(-1.15316603) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.405595560408748 × 6371000     		do = 247.732807863954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70003421-1.70013008) × cos(-1.15320491) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.405560021735284 × 6371000     		du = 247.71110127684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15316603)-sin(-1.15320491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405595560408748-0.405560021735284)×R²
    abs(1.70013008-1.70003421)×3.55386734641749e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.55386734641749e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.55386734641749e-05×40589641000000     		ar = 61361.8379489814m²