Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 505 / 742
↖ ↑ ↗
← S 62.593341°
W  2.460937°		 ← 17.994 km → S 62.593341°
W  2.109375°		 →
↑
17.945 km
↓
↑
17.945 km
↓
S 62.754726°
W  2.460937°		 ← 17.896 km →
322.031 km²		 S 62.754726°
W  2.109375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49365234375 y=0.72509765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49365234375 × 210)
    floor (0.49365234375 × 1024)
    floor (505.5)     		tx = 505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72509765625 × 210)
    floor (0.72509765625 × 1024)
    floor (742.5)     		ty = 742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 505 / 742 ti = "10/505/742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/505/742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 505 ÷ 210
    505 ÷ 1024     		x = 0.4931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 742 ÷ 210
    742 ÷ 1024     		y = 0.724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4931640625 × 2 - 1) × π
    -0.013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04295146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724609375 × 2 - 1) × π
    -0.44921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.41126232481445
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04295146} λ = -0.04295146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41126232481445))-π/2
    2×atan(0.243835289463767)-π/2
    2×0.239168219752432-π/2
    0.478336439504865-1.57079632675     		φ = -1.09245989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04295146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.460937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09245989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.593341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 505 KachelY 742 -0.04295146 -1.09245989 -2.460937 -62.593341
    Oben rechts KachelX + 1 506 KachelY 742 -0.03681554 -1.09245989 -2.109375 -62.593341
    Unten links KachelX 505 KachelY + 1 743 -0.04295146 -1.09527659 -2.460937 -62.754726
    Unten rechts KachelX + 1 506 KachelY + 1 743 -0.03681554 -1.09527659 -2.109375 -62.754726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09245989--1.09527659) × R
    0.00281670000000012 × 6371000     		dl = 17945.1957000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09245989--1.09527659) × R
    0.00281670000000012 × 6371000     		dr = 17945.1957000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04295146--0.03681554) × cos(-1.09245989) × R
    0.00613592 × 0.460302965131908 × 6371000     		do = 17994.1388038734m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04295146--0.03681554) × cos(-1.09527659) × R
    0.00613592 × 0.45780058353743 × 6371000     		du = 17896.3158369099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09245989)-sin(-1.09527659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.460302965131908-0.45780058353743)×R²
    abs(-0.03681554--0.04295146)×0.00250238159447796×R²
    0.00613592×0.00250238159447796×6371000²
    0.00613592×0.00250238159447796×40589641000000     		ar = 322030829.056118m²