Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50498 / 49218
↖ ↑ ↗
← S 66.657331°
E 97.393799°		 ← 242.01 m → S 66.657331°
E 97.399292°		 →
↑
242.03 m
↓
↑
242.03 m
↓
S 66.659507°
E 97.393799°		 ← 241.99 m →
58 573 m²		 S 66.659507°
E 97.399292°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770545959472656 y=0.751014709472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770545959472656 × 216)
    floor (0.770545959472656 × 65536)
    floor (50498.5)     		tx = 50498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751014709472656 × 216)
    floor (0.751014709472656 × 65536)
    floor (49218.5)     		ty = 49218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50498 / 49218 ti = "16/50498/49218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50498/49218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50498 ÷ 216
    50498 ÷ 65536     		x = 0.770538330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49218 ÷ 216
    49218 ÷ 65536     		y = 0.751007080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770538330078125 × 2 - 1) × π
    0.54107666015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.69984246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751007080078125 × 2 - 1) × π
    -0.50201416015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.57712399749985
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69984246} λ = 1.69984246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57712399749985))-π/2
    2×atan(0.206568335769742)-π/2
    2×0.203703216098203-π/2
    0.407406432196406-1.57079632675     		φ = -1.16338989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69984246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.393799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16338989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.657331°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50498 KachelY 49218 1.69984246 -1.16338989 97.393799 -66.657331
    Oben rechts KachelX + 1 50499 KachelY 49218 1.69993833 -1.16338989 97.399292 -66.657331
    Unten links KachelX 50498 KachelY + 1 49219 1.69984246 -1.16342788 97.393799 -66.659507
    Unten rechts KachelX + 1 50499 KachelY + 1 49219 1.69993833 -1.16342788 97.399292 -66.659507
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16338989--1.16342788) × R
    3.79900000000433e-05 × 6371000     		dl = 242.034290000276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16338989--1.16342788) × R
    3.79900000000433e-05 × 6371000     		dr = 242.034290000276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69984246-1.69993833) × cos(-1.16338989) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.396229379194338 × 6371000     		do = 242.012058926589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69984246-1.69993833) × cos(-1.16342788) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.396194498330821 × 6371000     		du = 241.990754121746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16338989)-sin(-1.16342788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396229379194338-0.396194498330821)×R²
    abs(1.69993833-1.69984246)×3.48808635162179e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.48808635162179e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.48808635162179e-05×40589641000000     		ar = 58572.6386140802m²