Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50496 / 48948
↖ ↑ ↗
← S 66.062633°
E 97.382812°		 ← 247.85 m → S 66.062633°
E 97.388306°		 →
↑
247.77 m
↓
↑
247.77 m
↓
S 66.064861°
E 97.382812°		 ← 247.82 m →
61 406 m²		 S 66.064861°
E 97.388306°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770515441894531 y=0.746894836425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770515441894531 × 216)
    floor (0.770515441894531 × 65536)
    floor (50496.5)     		tx = 50496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746894836425781 × 216)
    floor (0.746894836425781 × 65536)
    floor (48948.5)     		ty = 48948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50496 / 48948 ti = "16/50496/48948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50496/48948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50496 ÷ 216
    50496 ÷ 65536     		x = 0.7705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48948 ÷ 216
    48948 ÷ 65536     		y = 0.74688720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7705078125 × 2 - 1) × π
    0.541015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.69965071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74688720703125 × 2 - 1) × π
    -0.4937744140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.55123807170502
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69965071} λ = 1.69965071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55123807170502))-π/2
    2×atan(0.211985358217923)-π/2
    2×0.208892934915414-π/2
    0.417785869830828-1.57079632675     		φ = -1.15301046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69965071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.382812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15301046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.062633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50496 KachelY 48948 1.69965071 -1.15301046 97.382812 -66.062633
    Oben rechts KachelX + 1 50497 KachelY 48948 1.69974659 -1.15301046 97.388306 -66.062633
    Unten links KachelX 50496 KachelY + 1 48949 1.69965071 -1.15304935 97.382812 -66.064861
    Unten rechts KachelX + 1 50497 KachelY + 1 48949 1.69974659 -1.15304935 97.388306 -66.064861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15301046--1.15304935) × R
    3.88900000001247e-05 × 6371000     		dl = 247.768190000794m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15301046--1.15304935) × R
    3.88900000001247e-05 × 6371000     		dr = 247.768190000794m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69965071-1.69974659) × cos(-1.15301046) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.405737754670342 × 6371000     		do = 247.845507932093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69965071-1.69974659) × cos(-1.15304935) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.405702209310417 × 6371000     		du = 247.823794996375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15301046)-sin(-1.15304935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405737754670342-0.405702209310417)×R²
    abs(1.69974659-1.69965071)×3.55453599251709e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.55453599251709e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.55453599251709e-05×40589641000000     		ar = 61405.5430202918m²