Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50495 / 49089
↖ ↑ ↗
← S 66.374956°
E 97.377319°		 ← 244.77 m → S 66.374956°
E 97.382812°		 →
↑
244.77 m
↓
↑
244.77 m
↓
S 66.377158°
E 97.377319°		 ← 244.75 m →
59 911 m²		 S 66.377158°
E 97.382812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770500183105469 y=0.749046325683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770500183105469 × 216)
    floor (0.770500183105469 × 65536)
    floor (50495.5)     		tx = 50495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749046325683594 × 216)
    floor (0.749046325683594 × 65536)
    floor (49089.5)     		ty = 49089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50495 / 49089 ti = "16/50495/49089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50495/49089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50495 ÷ 216
    50495 ÷ 65536     		x = 0.770492553710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49089 ÷ 216
    49089 ÷ 65536     		y = 0.749038696289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770492553710938 × 2 - 1) × π
    0.540985107421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.69955484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749038696289062 × 2 - 1) × π
    -0.498077392578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.56475627739787
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69955484} λ = 1.69955484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56475627739787))-π/2
    2×atan(0.20913897885842)-π/2
    2×0.206167397666369-π/2
    0.412334795332738-1.57079632675     		φ = -1.15846153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69955484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.377319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15846153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.374956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50495 KachelY 49089 1.69955484 -1.15846153 97.377319 -66.374956
    Oben rechts KachelX + 1 50496 KachelY 49089 1.69965071 -1.15846153 97.382812 -66.374956
    Unten links KachelX 50495 KachelY + 1 49090 1.69955484 -1.15849995 97.377319 -66.377158
    Unten rechts KachelX + 1 50496 KachelY + 1 49090 1.69965071 -1.15849995 97.382812 -66.377158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15846153--1.15849995) × R
    3.84199999998724e-05 × 6371000     		dl = 244.773819999187m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15846153--1.15849995) × R
    3.84199999998724e-05 × 6371000     		dr = 244.773819999187m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69955484-1.69965071) × cos(-1.15846153) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.400749530332355 × 6371000     		do = 244.772911960241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69955484-1.69965071) × cos(-1.15849995) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.400714330106996 × 6371000     		du = 244.75141209309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15846153)-sin(-1.15849995))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400749530332355-0.400714330106996)×R²
    abs(1.69965071-1.69955484)×3.52002253589667e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.52002253589667e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.52002253589667e-05×40589641000000     		ar = 59911.3693977564m²