Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50494 / 49727
↖ ↑ ↗
← S 67.740678°
E 97.371826°		 ← 231.37 m → S 67.740678°
E 97.377319°		 →
↑
231.39 m
↓
↑
231.39 m
↓
S 67.742759°
E 97.371826°		 ← 231.35 m →
53 534 m²		 S 67.742759°
E 97.377319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50494 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770484924316406 y=0.758781433105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770484924316406 × 216)
    floor (0.770484924316406 × 65536)
    floor (50494.5)     		tx = 50494
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758781433105469 × 216)
    floor (0.758781433105469 × 65536)
    floor (49727.5)     		ty = 49727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50494 / 49727 ti = "16/50494/49727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50494/49727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50494 ÷ 216
    50494 ÷ 65536     		x = 0.770477294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49727 ÷ 216
    49727 ÷ 65536     		y = 0.758773803710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770477294921875 × 2 - 1) × π
    0.54095458984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.69945897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758773803710938 × 2 - 1) × π
    -0.517547607421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.62592376131306
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69945897} λ = 1.69945897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62592376131306))-π/2
    2×atan(0.196729859806494)-π/2
    2×0.194249226010244-π/2
    0.388498452020488-1.57079632675     		φ = -1.18229787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69945897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.371826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18229787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.740678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50494 KachelY 49727 1.69945897 -1.18229787 97.371826 -67.740678
    Oben rechts KachelX + 1 50495 KachelY 49727 1.69955484 -1.18229787 97.377319 -67.740678
    Unten links KachelX 50494 KachelY + 1 49728 1.69945897 -1.18233419 97.371826 -67.742759
    Unten rechts KachelX + 1 50495 KachelY + 1 49728 1.69955484 -1.18233419 97.377319 -67.742759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18229787--1.18233419) × R
    3.63199999999786e-05 × 6371000     		dl = 231.394719999864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18229787--1.18233419) × R
    3.63199999999786e-05 × 6371000     		dr = 231.394719999864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69945897-1.69955484) × cos(-1.18229787) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.378799196138461 × 6371000     		do = 231.365916287198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69945897-1.69955484) × cos(-1.18233419) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.378765582495472 × 6371000     		du = 231.345385485155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18229787)-sin(-1.18233419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378799196138461-0.378765582495472)×R²
    abs(1.69955484-1.69945897)×3.36136429883727e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.36136429883727e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.36136429883727e-05×40589641000000     		ar = 53534.4760632482m²