Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50491 / 49206
↖ ↑ ↗
← S 66.631199°
E 97.355346°		 ← 242.29 m → S 66.631199°
E 97.360840°		 →
↑
242.23 m
↓
↑
242.23 m
↓
S 66.633377°
E 97.355346°		 ← 242.27 m →
58 687 m²		 S 66.633377°
E 97.360840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770439147949219 y=0.750831604003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770439147949219 × 216)
    floor (0.770439147949219 × 65536)
    floor (50491.5)     		tx = 50491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750831604003906 × 216)
    floor (0.750831604003906 × 65536)
    floor (49206.5)     		ty = 49206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50491 / 49206 ti = "16/50491/49206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50491/49206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50491 ÷ 216
    50491 ÷ 65536     		x = 0.770431518554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49206 ÷ 216
    49206 ÷ 65536     		y = 0.750823974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770431518554688 × 2 - 1) × π
    0.540863037109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.69917134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750823974609375 × 2 - 1) × π
    -0.50164794921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.57597351190897
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69917134} λ = 1.69917134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57597351190897))-π/2
    2×atan(0.206806126424709)-π/2
    2×0.203931264608509-π/2
    0.407862529217018-1.57079632675     		φ = -1.16293380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69917134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.355346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16293380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.631199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50491 KachelY 49206 1.69917134 -1.16293380 97.355346 -66.631199
    Oben rechts KachelX + 1 50492 KachelY 49206 1.69926722 -1.16293380 97.360840 -66.631199
    Unten links KachelX 50491 KachelY + 1 49207 1.69917134 -1.16297182 97.355346 -66.633377
    Unten rechts KachelX + 1 50492 KachelY + 1 49207 1.69926722 -1.16297182 97.360840 -66.633377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16293380--1.16297182) × R
    3.8020000000083e-05 × 6371000     		dl = 242.225420000529m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16293380--1.16297182) × R
    3.8020000000083e-05 × 6371000     		dr = 242.225420000529m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69917134-1.69926722) × cos(-1.16293380) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.396648097711378 × 6371000     		do = 242.293077526582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69917134-1.69926722) × cos(-1.16297182) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.396613196177023 × 6371000     		du = 242.271757872667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16293380)-sin(-1.16297182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396648097711378-0.396613196177023)×R²
    abs(1.69926722-1.69917134)×3.49015343546477e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.49015343546477e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.49015343546477e-05×40589641000000     		ar = 58686.9603929262m²