Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50491 / 48955
↖ ↑ ↗
← S 66.078230°
E 97.355346°		 ← 247.69 m → S 66.078230°
E 97.360840°		 →
↑
247.64 m
↓
↑
247.64 m
↓
S 66.080457°
E 97.355346°		 ← 247.67 m →
61 336 m²		 S 66.080457°
E 97.360840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770439147949219 y=0.747001647949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770439147949219 × 216)
    floor (0.770439147949219 × 65536)
    floor (50491.5)     		tx = 50491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747001647949219 × 216)
    floor (0.747001647949219 × 65536)
    floor (48955.5)     		ty = 48955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50491 / 48955 ti = "16/50491/48955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50491/48955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50491 ÷ 216
    50491 ÷ 65536     		x = 0.770431518554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48955 ÷ 216
    48955 ÷ 65536     		y = 0.746994018554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770431518554688 × 2 - 1) × π
    0.540863037109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.69917134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746994018554688 × 2 - 1) × π
    -0.493988037109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.5519091882997
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69917134} λ = 1.69917134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5519091882997))-π/2
    2×atan(0.211843139054352)-π/2
    2×0.208756827993862-π/2
    0.417513655987723-1.57079632675     		φ = -1.15328267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69917134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.355346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15328267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.078230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50491 KachelY 48955 1.69917134 -1.15328267 97.355346 -66.078230
    Oben rechts KachelX + 1 50492 KachelY 48955 1.69926722 -1.15328267 97.360840 -66.078230
    Unten links KachelX 50491 KachelY + 1 48956 1.69917134 -1.15332154 97.355346 -66.080457
    Unten rechts KachelX + 1 50492 KachelY + 1 48956 1.69926722 -1.15332154 97.360840 -66.080457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15328267--1.15332154) × R
    3.88700000000242e-05 × 6371000     		dl = 247.640770000154m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15328267--1.15332154) × R
    3.88700000000242e-05 × 6371000     		dr = 247.640770000154m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69917134-1.69926722) × cos(-1.15328267) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.405488942549209 × 6371000     		do = 247.693520680231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69917134-1.69926722) × cos(-1.15332154) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.405453411177863 × 6371000     		du = 247.671816289458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15328267)-sin(-1.15332154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405488942549209-0.405453411177863)×R²
    abs(1.69926722-1.69917134)×3.55313713457095e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.55313713457095e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.55313713457095e-05×40589641000000     		ar = 61336.3267470899m²